Bài 110392

Question

Cho $ABCD$.Gọi $M,N,P,Q,R,S$ theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh $AB,DC,BC,AD,AC$
$a.$ Chứng minh rằng các đường thẳng $MN,PQ,RS$ đồng quy tại một điểm mà ta gọi là $G$
$b.$ Gọi $G_1$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$ Biểu diển véctơ $\overrightarrow {AG_1} $ theo các véctơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD} $
$c.$ Gọi $G_2,G_3,G_4$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác $ACD,ABD,ABC$
Chứng minh bốn đường thẳng $AG_1,BG_2,CG_3,DG_4$ đồng qui tại một điểm mà ta gọi là $G'$
$d.$ Chứng minh hệ thức
$\overrightarrow {G'A} +\overrightarrow {G'B} +\overrightarrow {G'C}+\overrightarrow {G'D}=\overrightarrow {0} $
$e.$ Chứng minh hai điểm $G,G'$ trùng nhau từ đó suy ra một tính chất của tứ diện

Tiểu Bắc · Answer 1 · 7/3/2012 10:10:54 AM

$a.$ Gọi $O_1,O_2,O_3$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $MN,PQ,RS$.Với mọi điểm $E$ trong không gian, vì $M$ là trung điểm của $AB$ ta đều có :
$2\overrightarrow {EM}=\overrightarrow {EA} +\overrightarrow {EB}       (1)$
$N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có :
$2\overrightarrow {EN} =\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {ED}      (2)$
$O_1$ là trung điểm của $MN$ nên
$2\overrightarrow {EO_1}=\overrightarrow {EM}+\overrightarrow {EN}       (3) $
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra
$2\overrightarrow {EO_1}=\frac{1}{2} (\overrightarrow {EA}+\overrightarrow {EB}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {ED}    )           (4)$
Tương tự ta có :
$2\overrightarrow {EO_1}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {EA}+\overrightarrow {EB}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {ED}    )        (5)$
$2\overrightarrow {EO_3}=\frac{1}{2} (\overrightarrow {EA}+\overrightarrow {EB}+\overrightarrow {EC}+\overrightarrow {ED}    )       (6)$
Từ $(4),(5),(6)$ suy ra
$\overrightarrow {EO_1}=\overrightarrow {EO_2}=\overrightarrow {EO_3}   $
Vậy ba điểm $O_1,O_2,O_3$ trùng nhau tại một điểm mà ta gọi là $G$ điểm $G$ này là trung điểm của mỗi đoạn thẳng $MN,PQ,RS$
$b.$ Ta có : $\overrightarrow {AG_1}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {BG_1} $
Vì $G_1$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên :
$\overrightarrow {AG_1}=\frac{2}{3} \overrightarrow {BN} $
và $\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AN}   $ với $\overrightarrow {AN}=\frac{1}{2} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
Ta có :
$\overrightarrow {AG_1}=\overrightarrow {AB}+\frac{2}{3}   [\overrightarrow {BA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} ) ]$
$\Rightarrow \overrightarrow {AG_1}-\frac{2}{3} \overrightarrow {AB}+\frac{1}{3} (\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
Vậy $\overrightarrow {AG_1}=\frac{1}{3} (\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} )$
$c.$ Giả sử $AG_1$ và $BG_2$ (cùng nằm trong mặt phẳng $(ABN)$) cắt nhau tại điểm $G'$.Ta chứng minh $CG_3$ đi qua $G'$.$G_1$ là trọng tâm của $\Delta BCD$ :
$\frac{G_1N}{BN}=\frac{1}{3} $
Tương tự ta có : $\frac{G_2N}{AN}=\frac{1}{3} $
$\Rightarrow \frac{G_1N}{BN}=\frac{G_2N}{AN}\Rightarrow G_1G_2//AB $ và $G_1G_2=\frac{1}{2} AB$
Hai tam giác $AABG'$ và $G_1BG_2$ đồng dạng cho ta
$\frac{G'G_1}{AG}=\frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {AG'}=\frac{3}{4} \overrightarrow {AG_1} $
Theo kết quả câu $b.$ ta có :
$\overrightarrow {AG_1}=\frac{1}{3} (\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
$\Rightarrow \overrightarrow {AG'}=\frac{1}{4} (\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
Xét véctơ $\overrightarrow {CG'} $ ta có
$\overrightarrow {CG'}=\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AG'}\Rightarrow \overrightarrow {CG'}=\overrightarrow {CA}+\frac{1}{4}      (\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
$\Rightarrow \overrightarrow {CG'}=\frac{1}{4} [4\overrightarrow {CA}+(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} ) ]            (7)$
Cũng theo kết quả câu $b.$ Ta có
$\overrightarrow {CG_3}=\frac{1}{3} (\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {C}\overrightarrow {CD}   )$
$\Rightarrow \overrightarrow {CG_3}=\frac{1}{3} (\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {AD}    )$
$\overrightarrow {AB} $
$\Rightarrow \overrightarrow {CG_3}=\frac{1}{3} [4\overrightarrow {CA}+(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} ) ]           (8)$
Từ $(7),(8)$ ta suy ra hệ thức
$4\overrightarrow {CG'}=3\overrightarrow {CG_3}             (9)$
Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $C,G',G_3$ thẳng hàng hay $CG_3$ đi qua $G'$
Chứng minh tương tự ta có $DG_4$ cùng đi qua $G'$
$d.$ Từ hệ $(9)$ ta có
$\overrightarrow {CG'}=\frac{3}{4} \overrightarrow {CG_3}\Rightarrow \overrightarrow {CG'}=\frac{3}{4}   .\frac{1}{3}(\overrightarrow {CA}+\overrightarrow {CB}+\overrightarrow {CD}   ) $
Tương tự ta suy ra $\overrightarrow {AG'}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}   (\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD} )$
$\overrightarrow {BG'}=\frac{3}{4} .\frac{1}{3} (\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {BD}   )$
$\overrightarrow {DG'}=\frac{3}{4} .\frac{1}{3} (\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {DC}   )$
$\Rightarrow \overrightarrow {CG'}+\overrightarrow {AG'}+\overrightarrow {BG'}+\overrightarrow {DG'}=\overrightarrow {0}     $
$\Leftrightarrow \overrightarrow {G'A}+\overrightarrow {G'B}+\overrightarrow {G'C}+\overrightarrow {G'D}=\overrightarrow {0}     $
$e.$ Từ hệ thức
$\overrightarrow {G'A}+\overrightarrow {G'B} +\overrightarrow {G'C}+\overrightarrow {G'D}=\overrightarrow {0}   $
$\Rightarrow (\overrightarrow {G'A}+\overrightarrow {G'B} )+(\overrightarrow {G'C}+\overrightarrow {G'D} )=\overrightarrow {0}             (10)$
$M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {G'A}+\overrightarrow {G'B} =2\overrightarrow {G'M} $
$N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow {G'C}+\overrightarrow {G'D}=2\overrightarrow {G'N}   $
Từ $(10)$ suy ra
$2\overrightarrow {G'M}+2\overrightarrow {G'N}=\overrightarrow {0}   \Rightarrow \overrightarrow {G'M}+\overrightarrow {G'N}=\overrightarrow {0}           (11) $
Đẳng thức $(11)$ chứng tở $G'$ là trung điểm của $MN$.Vậy $G'$ trùng với $G$
Từ các kết quả trên ta suy ra tính chất sau đây của tứ diện :
" Trong một tứ diện, các đường thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và các đường thẳng với mỗi đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm

Bài 110392

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110392

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan