Bài 110867

Question

Cho điểm

$A$ nằm trên nửa đường tròn đường kính

$BC$ kẻ đường cao

$AH$ , gọi

$O,O'$ theo thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp trong các tam giác

$ABH,ACH$

$a.$ Chứng minh các tam giác

$BHA,AHC$ đồng dạng với tam giác

$OHO'$

$b.$ Chứng minh đường vuông góc kẻ từ

$A$ đến

$OO'$ đi qua điểm cố định

Tiểu Bắc · Answer 1 · 7/6/2012 9:26:20 AM

$a.$ Gọi

$R,R'$ theo thứ tự là các bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác

$BHA,AHC$ .Ta có :

$\frac{AB}{AC}=\frac{R}{R'}=\frac{R\sqrt{2} }{R'\sqrt{2} } =\frac{HO}{HO'}$
Góc

$\widehat{OHO'} =90^0$ suy ra

$\Delta OHO'$ đồng dạng

$\Delta BHA$
Và

$\Delta OHO'$ đồng dạng

$\Delta AHC$

$b.$ Từ các kết quả trên, ta có

$\widehat{BHO}=\widehat{AHO'} (=45^0)$
Và

$\frac{HO}{HB}=\frac{HO'}{HA}$
Phép đồng dạng tâm

$H$ , góc

$45^0$ và tỉ số

$\frac{HO}{HB}$ biến tam giác

$BHA$ thành tam giác

$OHO'$ .Trong phép đồng dạng này

$BA\rightarrow OO'$ do đó hai đường thẳng

$BA$ và

$OO'$ tạo với nhau một góc bằng góc đồng dạng, bằng

$45^0$ suy ra tam giác

$AEF$ vuông cân đỉnh

$A$ và đường vuông góc với

$OO'$ kẻ từ

$A$ là đường phân giác của góc

$\widehat{EAF}$ .Phân giác này phải đi qua điểm chính giữa

$D$ của cung

$AB$

1 Đáp án