Bài 111508

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A'B'C'D'$ cạnh

$a$

$a.$ Gọi

$MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường chéo không xuất phát từ một đỉnh của hai mặt bên kề nhau

$A'B,B'C$ .dựng đoạn thẳng

$MN$

$b.$ Tính

$MN$ theo

$a$

$c.$ Xác định vị trí của điểm

$M$ trên

$A'B$ và điểm

$N$ trên

$B'C$

Tiểu Bắc · Answer 1 · 7/11/2012 4:16:29 PM

$a.$ Mặt phẳng

$(A'BD)$ là mặt phẳng chứa

$A'B$ và song song với

$B'C$ trên mặt phẳng

$(A'BD)$
Gọi

$E,F$ theo thứ tự là tâm của hình vuông

$(ADD'A),(BCC'B')$
Trong mặt phẳng

$(ABC'D)$ kẻ

$FH\bot BE (1)$
Ta lại có

$A'D\bot (ABC'D')$
Mà

$FH\subset (ABC'D')$ nên

$FH\bot A'D (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra

$FH\bot (A'BD)$
Mặt phẳng

$\alpha$ chứa

$FH,B'C$ phải vuông góc với mặt phẳng

$(A'BD)$
Mặt phẳng

$\alpha$ cắt

$A'B$ tại điểm

$M$ .Qua

$M$ ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

$(A'BD)$ tức là đường thẳng song song với

$EH$ , đường thẳng này cắt

$B'C$ tại

$N$

$MN$ là đoạn vuông góc chung của

$A'B$ và

$B'C$
Ta chứng minh được

$MN\bot B'C$ và

$MN\bot A'B$ một cách dễ dàng.

$b.$ Vì

$MN=FH$ nên ta tính

$FH$
Trong tam giác vuông

$EFH$ thì

$FH$ là đường cao nên.

$\frac{1}{FH^2}=\frac{1}{EF^2}+\frac{1}{FB^2}$
với

$EF=a,FB=\frac{a\sqrt{2} }{2}$ ta tính được

$FH=\frac{a\sqrt{3} }{3}$

$c.$ Để xác định vị trí điểm

$M$ , ta xét tỉ số

$\frac{BM}{BA'}$
Trong tam giác vuông

$EFB,FH$ là đường cao, cho ta

$BH.BE=BF^2\Rightarrow BH=\frac{BF^2}{BE}$
Từ đây suy ra

$\frac{BM}{BA'}=\frac{BF^2}{BE^2}$
Với

$BF=\frac{a\sqrt{2} }{2} ,BE^2=BF^2+FB^2=a^2+(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2$
Ta tính được

$\frac{BM}{BA'}=\frac{1}{3}$
Vậy

$M$ là điểm chia trong đoạn thẳng

$A'B$ theo tỉ số

$k=2$ .Tương tự

$N$ là điểm chia trong đoạn thẳng

$B'C$ theo tỉ số

$k=2$

Bài 111508

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111508

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan