Bài 111683

Question

Trong không gian

$Oxyz$ cho bốn điểm

$A(3;-1;1), B(2;0;1), C(2;-1;2), D(2;-1;1)$ .
a) Tìm tọa độ các điểm

$A_{1},A_{2}$ theo thứ tự là các điểm đối xứng với các điểm

$A$ qua mặt phẳng

$(Oxy)$ và trục

$Ox$ .
b) Chứng minh rằng

$A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
c) Tính thể tích khối tứ diện

$ABCD$ .
d) Chứng minh rằng hình chóp

$D.ABC$ là hình chóp đều.
e) Tìm tọa độ chân đường cao

$H$ của hình chóp

$D.ABC$ .
f) Chứng minh rằng tứ diện

$ABCD$ có các cạnh đối vuông góc với nhau.
g) Tìm tọa độ tâm

$I$ và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD.$

huyenhana164 · Answer 1 · 7/12/2012 2:25:50 PM

Giải
Ta có:
a) Ta lần lượt:
* Hình chiếu vuông góc của điểm

$A$ trên mặt phẳng

$(Oxy)$ là điểm

$E(3;-1;0)$ . Từ đó, vì

$E$ là trung điểm của

$AA_{1}$ nên

$A_{1}(3;-1;-1)$ .
* Hình chiếu vuông góc của điểm

$A$ trên trục

$Ox$ là điểm

$F(3;0;0)$ . Từ đó, vì

$F$ là trung điểm của

$AA_{2}$ nên

$A_{2}(3;1;-1)$ .
b) Ta có:

$\overrightarrow {DA}(1;0;0)=\overrightarrow {i}, \overrightarrow {DB}(0;1;0)=\overrightarrow {j}, \overrightarrow {DC}(0;0;1)=\overrightarrow {k}$
và vì

$\overrightarrow {i}, \overrightarrow {j}, \overrightarrow {k}$ không đồng phẳng nên ba vectơ

$\overrightarrow {DA}, \overrightarrow {DB}, \overrightarrow {DC}$ không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm

$A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

c) Thể tích

$V$ của tứ diện

$ABCD$ được cho bởi:

$V=\frac{1}{6}|[\overrightarrow {DA},\overrightarrow {DB}].\overrightarrow {DC}|=\frac{1}{6}$ (đvtt)

d) Ta lần lượt có:

$\begin{cases} DA=\sqrt{1^{2}+0+0}=1 \\ DB=\sqrt{0+1^{2}+0}=1 \\DC=\sqrt{0+0+1^{2}}=1 \end{cases} \Rightarrow DA=DB=DC=1$
Tương tự ta cũng có

$AB=BC=CA=\sqrt{2}$ .
Vậy, hình chóp

$D.ABC$ là hình chóp đều.

e) Dựa theo kết quả câu d) ta suy ra chân đường cao

$H$ của hình chóp

$D.ABC$ chính là trọng tâm của

$\Delta ABC$ , do đó:

$\overrightarrow {OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})$

$\Leftrightarrow H(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3})=(\frac{7}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3})$

f) Với cặp cạnh

$AD$ và

$BC$ ,ta có:

$\overrightarrow {DA}(1;0;0),\overrightarrow {BC}(0;-1;1) \Rightarrow \overrightarrow {DA}.\overrightarrow {BC}=0 \Leftrightarrow AD \bot BC.$
Chứng minh tương tự ta cũng có

$AB \bot CD, AC \bot BD$
Vậy,tứ diện

$ABCD$ có các cạnh đối vuông góc với nhau.

g) Giả sử

$I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD$ , ta có:

$\begin{cases} AI=BI \\ AI=CI \\ AI=DI \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+y^{2}+(z-1)^{2} \\ (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-2)^{2} \\ (x-3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=3 \\ x-z=1 \\ 2x=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\frac{5}{2} \\ y=-\frac{1}{2} \\ z=\frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow I(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ .
Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD$ là

$I(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ và bán kính

$R=IA=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài 111683

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111683

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan