Bài 111992

Question

Cho tứ diện đều

$ABCD$ cạnh

$a$ . Gọi

$I$ và

$J$ lần lượt là trung điểm của

$AB$ và

$CD$ .

a) Chứng minh rằng

$IJ$ là đoạn thẳng vuông góc chung của

$AB$ và

$CD$ . Tính độ dài đoạn

$IJ$ .

b) Chứng minh rằng tứ diện

$ABCD$ có ba trục đối xứng.

c) Tứ diện

$ABCD$ có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng.

huyenhana164 · Answer 1 · 7/14/2012 1:39:18 PM

a) Ta có:

$\begin{cases} AB \bot CI \\ AB \bot DI\end{cases} \Rightarrow AB \bot (ICD) \Rightarrow AB \bot IJ$ (1)

$\begin{cases} CD \bot AJ \\ CD \bot BJ\end{cases} \Rightarrow CD \bot (JAB) \Rightarrow CD \bot IJ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$IJ$ là đoạn vuông góc chung của

$AB$ và

$CD$ .

Trong

$\Delta AIJ$ , ta có:

$IJ^{2}=AJ^{2}-AI^{2}=(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2} \Rightarrow IJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

b) Nhận xét rằng với phép đối xứng qua trục

$IJ$ thì:

$\begin{cases} D_{IJ} (A)= B \\ D_{IJ} (C)= D\end{cases} \Rightarrow D_{IJ} (ABCD)= BADC$

$\Rightarrow IJ$ là trục đối xứng của

$ABCD$ .

Từ đó suy ra tứ diện có ba trục đối xứng là các đường thẳng nối trung điểm của hai cạnh đối diện.

c) Nhận xét rằng

$(ICD)$ là mặt phẳng trung trực của cạnh

$AB$ với phép đối xứng qua mặt phẳng

$(ICD)$ thì:

$\begin{cases} D_{(ICD)} (A)= B \\ D_{(ICD)} (B)= A\end{cases} \Rightarrow D_{(ICD)} (ABCD)= BACD$

$\Rightarrow (ICD)$ là mặt phẳng đối xứng của

$ABCD$ .

Từ đó suy ra tứ diện có sáu mặt phẳng đối xứng là các mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.

1 Đáp án