Bài 113163

Question

Cho hình lập phương

$ABCDA'B'C'D'$ , cạnh

$a$ và

$N, P, Q$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh

$BC, CC', C'D'$ . Tìm diện tích thiết diện do mp

$(NPQ)$ cắt hình lập phương.

Dung Holsu · Answer 1 · 7/29/2012 12:27:51 PM

Ta có:

$PQ$ cắt

$CD$ và

$DD'$ theo thứ tự tại

$C1, D1$ .

$NC1$ cắt

$AB$ và

$AD$ tại

$M$ và

$A1$ .

$A1D1$ cắt

$AA'$ và

$A'D'$ tại

$S, R$ . Thiết diện là lục giác

$MNPQRS$ . Ta phải chứng mình thiết diện là lục giác đều.
Thật vậy. Ta dễ dàng chứng minh các tam giác vuông

$D1D'Q, QC'P, PCC1$ bằng nhau. Suy ra:

$CC1=D'D1=CP=\frac{1}{2}a.$ Cũng dể chứng minh các tam giác vuông

$BMN$ ,

$AA1M$ bằng nhau, suy ra:

$BM=AM=AA1=BN=\frac{1}{2}a$ .
Dễ thấy các tam giác vuông

$AA1S, D'D1R$ bằng nhau, suy ra

$S, R$ là trung điểm các cạnh

$AA'$ và

$DD'$ .
Thành ra các đỉnh của hình lục giác là trung điểm các cạnh của hình lập phương nên mỗi cạnh của hình tam giác bằng nửa đường chéo hình vuông, bằng

$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .
Cũng theo các chứng minh trên ta thấy các tam giác

$D1RQ, SA1M, PNC1$ là các tam giác đều bằng nhau nên các góc

$\widehat{D1RQ}=\widehat{D1QR}=\widehat{A1SM}=...=60^0 \Rightarrow \widehat{SRQ}=\widehat{RQP}=\widehat{RSM}=...=120^0$ . Vậy thiết diện là lục giác đều.
Diện tích thiết tiện bằng 6 lần diện tích của một tam giác đều

$OMN$ (

$O$ là giao điểm các đường chéo của lục giác đều), cạnh

$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Do đó, diện tích