ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI D - MÔN TOÁN -2013

Question

Đề thi tuyển sinh đại học năm $2013$
Môn Toán - Khối D

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( $7$ điểm)
Câu $1$ ( $2,0$ điểm)
Cho hàm số

$y=2x^3-3mx^2+(m-1)x+1 (1)$ , với

$m$ là tham số thực.

$a)$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

$(1)$ khi

$m=1$ .

$b)$ Tìm

$m$ đề đường thẳng

$y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số

$(1)$ tại ba điểm phân biệt.

Câu $2$ ( $1,0$ điểm) Giải phương trình

$\sin 3x + \cos 2x-\sin x=0$

Câu $3$ ( $1,0$ điểm) Giải phương trình

$2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\frac{1}{2} log_\sqrt{x} (x-2\sqrt{x} +2)$

Câu $4$ ( $1,0$ điểm)
tính tích phân

$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx$

Câu $5$ ( $1,0$ điểm)
Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh

$a$ , cạnh bên

$SA$ vuông góc với đáy,

$\widehat{BAD}=120^0 ,M$ là trung điểm của cạnh

$BC$ và

$\widehat{SMA} =45^0$ . Tính theo

$a$ thể tích của khối chóp

$S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm

$D$ đến mặt phẳng

$(SBC)$ .

Câu $6$ ( $1,0$ điểm)
Cho

$x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

$xy\leq y-1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2} } -\frac{x-2y}{6(x+y)}$

II. PHẦN RIÊNG ( $3,0$ điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn

Câu $7.1$ ( $1,0$ điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

$Oxy$ , cho tam giác

$ABC$ có điểm

$M(-\frac{9}{2}; \frac{3}{2} )$ là trung điểm của cạnh

$AB$ , điểm

$H(-2,4)$ và điểm

$I(-1; 1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ

$B$ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$ . Tìm tọa độ điểm

$C$ .

Câu $8.a$ ( $1,0$ điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho các điểm

$A(-1,-1;-2), B(0,1;1)$ và mặt phẳng

$(P) : x+y+z-1=0$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

$A$ trên

$(P)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua

$A, B$ và vuông góc với

$(P)$ .

Câu $9.a$ ( $1,0$ điểm)
Cho số phức

$z$ thỏa mãn điều kiện

$(1+i)(z-i)+2z=2i$ . Tính môđun của số phức

$\omega =\frac{\overline{z} -2z+1}{z^2}$

B. theo chương trình nâng cao
Câu $7.b$ ( $1,0$ điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

$Oxy$ , cho đường tròn

$(C) : (x-1)^2+(y-1)^2=4$ và đường thẳng

$\Delta : y-3=0$ . Tam giác

$MNP$ có trực tâm trùng với tâm của

$(C)$ , các đỉnh

$N$ và

$P$ thuộc

$\Delta$ , đỉnh

$M$ và trung điểm của cạnh

$MN$ thuộc

$(C)$ . Tìm tọa độ điểm

$P$ .

Câu $8.b$ ( $1,0$ điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ , cho điểm

$A(-1;3;-2)$ và mặt phẳng

$(P) : x-2y-2z+5=0$ . tính khoảng cách từ A đến

$(P)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua

$A$ và song song với

$(P)$

Câu $9.$ ( $1,0$ điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

$f(x)=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ trên đoạn

$[0; 2]$

Đức Vỹ · Answer 1 · 7/9/2013 3:48:25 PM

Câu $1$

$1) m=1\Rightarrow y=2x^3-3x^2+1 (1)$
+ TXĐ :

$D=R$
+ Chiều biến thiên

$y'=6x^2-6x=6x(x-1)$

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=0 \\x=1 \\ \end{gathered} \right.$
+ Hàm số đồng biến trên

$(-\infty;0); (1;+\infty)$ , nghịch biến trên

$(0,1)$
Bảng Biến Thiên

Cực trị :
Hàm số đạt cực đại tại :

$x_{CĐ}=0\rightarrow y_{CĐ}=y(0)=1$
Hàm số đạt cực tiểu tại

$x_{CT}=1\rightarrow y_{CT}=y(1)=0$

Giới hạn :

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to -\infty}=\mathop {\lim x^3}\limits_{x \to -\infty} (2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3} )=-\infty$

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to +\infty}=\mathop {\lim x^3}\limits_{x \to +\infty} (2-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3} )=+\infty$

Điểm uốn :

$y''=12x-6$

$y''=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
Điểm uốn

$U(\frac{1}{2};\frac{1}{2} )$

Đồ Thị

Giao

$Ox$
Cho

$y=0$

$2x^3-3x^2+1=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered}x=-\frac{1}{2} \\x=1 \\ \end{gathered} \right.$
Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn

$U(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} )$ làm tâm đối xứng

b) Phương trình tương giao

$2x^3-3mx^2+(m-1)x+1=-x+1 (2)$

$\Leftrightarrow 2x^3-3mx^2+mx=0$

$\Leftrightarrow x(2x^2-3mx+m)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=0 \\ 2x^2-3mx+m=0 (3)\\ \end{gathered} \right.$
Đường thẳng

$y=-x+1$ cắt đồ thị

$(1)$ tại

$3$ điểm phân biệt

$\Leftrightarrow$ Phương trình

$(2)$ có

$3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ Phương trình

$(3)$ có

$2$ nghiệm phân biệt khác

$0$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta= (3m)^2-4.2m>0\\ 2.)^3-3m.0+m \neq 0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} 9m^2-8m>0\\ m\neq 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9} \\ \end{gathered} \right. \\ m\neq 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9} \\ \end{gathered} \right.$
Kết luận :

$\left[ \begin{gathered}m<0 \\m>\frac{8}{9} \\ \end{gathered} \right.$

Câu $2$ :
Giải phương trình

$\sin 3x+\ cos2x-\sin x=0$

$\Leftrightarrow (\sin3x-\sin x)+\ cos 2x=0$

$\Leftrightarrow 2\cos 2x.\sin x+\cos 2x=0$

$\cos 2x(2\sin x+1)=0$

$\left[ \begin{gathered}\cos 2x=0 \\2\sin x+1=0 \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\cos 2x=0 \\\sin x=\frac{-1}{2} =\sin (\frac{-\pi}{6} ) \\ \end{gathered} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\z=\frac{-\pi}{6}+k2\pi \\x=\frac{7\pi}{6} +2k\pi \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \\z=\frac{-\pi}{6}+k2\pi \\x=\frac{7\pi}{6} +2k\pi \\ \end{gathered} \right.$

Câu $3$

$2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\frac{1}{2} log_\sqrt{x} (x-2\sqrt{x} +2)$
Điều kiện

$0<x<1$
Phương trình

$\Leftrightarrow 2\log_2x+\log_\frac{1}{2} (1-\sqrt{x} )=\log_2(x-2\sqrt{x} +2)$

$\Leftrightarrow \log_2\frac{x^2}{(1-\sqrt{x} )} =\log(x-2\sqrt{x}+2 )$

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(1-\sqrt{x} )} =x-2\sqrt{x} +2$
Đặt

$\sqrt{x} =t(t>0)\Rightarrow \frac{t^4}{1-t} =t^2-2t+2$

$\Leftrightarrow t^4=(t^2-2t+2)(1-t)$

$\Leftrightarrow t^4=t^2-t^3-2t+2t^2+2-2t$

$\Leftrightarrow t^4+t^3-3t^2+4t-2=0$

$\left[ \begin{gathered}t=-1-\sqrt{3} (loai) \\t=\sqrt{3}-1 (thỏa mãn) \\ \end{gathered} \right.$

$\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{3}-1$

$\Leftrightarrow x=(\sqrt{3}-1 )^2=4-2\sqrt{3}$

Câu $4$

$I=\int\limits_{0}^{1} \frac{(x+1)^2}{x^2+1} dx=\int\limits_{0}^{1} \frac{x^2+2x+1}{x^2+1} dx=\int\limits_{0}^{1} \frac{x^2+1}{x^2+1}dx+\int\limits_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1}dx$

$=x \left| \begin{gathered} 1\\ 0\\ \end{gathered} \right.+\int\limits_{0}^{1} \frac{d(x^2+1)}{x^2+1} =1+\ln |x^2+1[\left| \begin{gathered} 1\\ 0\\ \end{gathered} \right.=1+\ln 2$

Câu $5$

Tính

$V._{S.ABCD}= ?$
Do

$\widehat{BAD}=120^0 \Rightarrow \widehat{ABC}=60^0\Rightarrow \Delta ABC$ đều

$\Rightarrow AC=a$

$BD^2=AB^2+AD^2-2AB.AD.\cos \widehat{BAD}$

$=a^2+a^2-2a.a.\cos 120^0$

$=2a^2+a^2=3a^2\Rightarrow BD=a\sqrt{3}$

$\Delta ABC$ đều, cạnh

$a\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3} }{2}$

$\Delta SAM$ vuông cân tại

$A\Rightarrow SA=AM=\frac{a\sqrt{3} }{2}$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3} SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3} SA.\frac{1}{2} .AC.BD=\frac{1}{3} .\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{1}{2} .a.a\sqrt{3} =\frac{a^3}{4}$ (đvtt)
Tính

$d(D,(SBC))=?$
Do

$AD//BC\Rightarrow AD//(SBC)\Rightarrow d(D,(SBC))=d(A,(SBC))$
Gọi

$E$ là trung điểm của

$SM$
Ta có :

$AE\bot SM (1)$

$\left\{ \begin{array}{l} AM\bot BC\\ SA\bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC\bot (SAM)\Rightarrow BC\bot AE (2)$
Từ

$(1)$ và

$(2)\Rightarrow AE\bot (SBC)$

$\Rightarrow d(A, (SBC))=AE$

$\Delta SAM$ vuông cân tại

$A\Rightarrow AE=\frac{SM}{2}$

$SM=\sqrt{SA^2+AM^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4} } =\sqrt{\frac{3a^2}{2} } =\frac{a\sqrt{6} }{2}$

$d(D, (SBC))=d(A, (SBC))=AE=\frac{SM}{2}=\frac{a\sqrt{6} }{2}$

Câu $6$

$\frac{x}{y} \leq \frac{1}{y} -\frac{1}{y^2} =\frac{1}{4} -\frac{(y-2)^2}{4y^2} \leq \frac{1}{4}$

$P : =\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3} } -\frac{t-2}{6(t+1)} ; 0<t=\frac{x}{y} \leq \frac{1}{4}$
Theo giả thiết ta có :

$P : =\frac{7-3t}{2(t^2-t+3)^\frac{3}{2} } -\frac{1}{6(t+1)^2} >0, 0<t\leq \frac{1}{4}$

$P\leq (\frac{1}{4} )=\frac{7}{30} +\frac{\sqrt{5} }{3}$

Câu $7.a$

Lập phương trình

$M(-\frac{9}{2} ; \frac{3}{2} )$ và vuôn góc

$IM$

$\overrightarrow{n_{AB}} //\overrightarrow{IM} =(7;-1)$

$7(x+\frac{9}{2} )-(y-\frac{3}{2} )=0$

$\Leftrightarrow 7x-y+33=0$

$A\in AB\Rightarrow A(t; 7t+33)$

$M$ là trung điểm

$AB\Rightarrow B(-9-t; -30-7t)$

$AH\bot BH\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH} =0$

$\Leftrightarrow (-2-t;-7-29)(7+t;34+7t)=0$

$\Leftrightarrow 50t^2+450t+1000=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}t_1=-5\Rightarrow A (-5;-2) \\t_2=-4\Rightarrow A(-4;5) \\ \end{gathered} \right.$

Trường hợp

$1$
Với

$A(-5;-2)$ Phương trình

$AC : \left\{ \begin{array}{l} x=-5+3t\\ y=-2+6t \end{array} \right.\Rightarrow C(3t-5; 6t-2)$

$IA=IC\Rightarrow IA^2=IC^2\Leftrightarrow 25=(3t-4)^2+(6t-3)^2$

$\Leftrightarrow 45t^2-60t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}t=0 \\t=\frac{4}{3} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}C(-5;-2) (loại) \\C(-1;6) \\ \end{gathered} \right.$

Trường hợp

$2 :$
Với

$A(-4;-5)\Rightarrow$ Phương trình

$AC : \left\{ \begin{array}{l} x=-4+2t\\ y=5-t \end{array} \right.\Rightarrow C(-4+2t; 5-t)$

$IA=IC\Rightarrow IA^2=IC^2$

$\Rightarrow \left[ \begin{gathered}t=0 \Rightarrow C(-4;5) (loại) \\t=4\Rightarrow C(4;1) \\ \end{gathered} \right.$
Kết luận : Vậy

$C(-1;6)$ và

$C(4;1)$

Câu $7.b$

Gọi

$K$ là trung điểm

$MN, I$ là tâm

$(C), O$ là giao

$MI$ và

$\Delta$
Ta có

$I(1;1), R=2$
Phương trình đường thẳng

$MI$ qua

$I(1;1)$ nhận

$\overrightarrow{v}= (1;0)$ (là vectơ chỉ phương

$\Delta$ ) làm vecto pháp tuyến có phương trình

$x-1=0$
Giao điểm

$MI$ và

$(C)$ là nghiệm của hệ :

$\left\{ \begin{array}{l} x-1=0\\ (x-1)^2 +(y-1)^2=4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=3 \end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-1 \end{array} \right. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow M(1;-1), O (1;3)$ (do

$O\in \Delta$ )
Giả sử

$N(a,3)\in \Delta \Rightarrow K(\frac{a+1}{2};1 )$ , do

$K\in (C)\Rightarrow (\frac{a+1}{2}-1 )^2+(1-1)^2=4$

$\Rightarrow \frac{(a-1)^2}{4} =4\Rightarrow \left[ \begin{gathered}a=0 \\a=2 \\ \end{gathered} \right.$

+ Với

$a=0\Rightarrow N(0;3)\Rightarrow \overrightarrow{MN} =(-1;4)$
Phương trình đường thẳng

$PI$ qua

$I(1;1)$ nhận

$\overrightarrow{Mn}$ làm vecto pháp tuyến là :

$-1(x-1)+4(y-1)=0\Rightarrow -x+4y-3=0$
Tọa độ

$P$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l} -x+4y-3=0\\ y-3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=9\\ y=3 \end{array} \right. \Rightarrow P(9;3)$

+ Với

$a=2\Rightarrow N(2;3)\Rightarrow \overrightarrow{MN} =(1;4)$
Phương trình đường thẳng

$PI$ qua

$I(1;1)$ nhận

$\overrightarrow{MN}$ làm vecto pháp tuyến là :

$1(x-1)+4(y-1)=0\Rightarrow x+4y-5=0$
Tọa độ

$P$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l} x+4y-5=0\\ y-3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=3 \end{array} \right. \Rightarrow P(-7; 3)$
Vậy

$P(9;3)$ hoặc

$P(-7;3)$

Câu $8.a$
Đường thẳng

$d$ đi qua

$A(-1;-1;2)$ và vuông góc với mặt phẳng

$(P)$
Véc tơ chỉ phương

$\overrightarrow{u_d} //\overrightarrow{n_p} (1;1;1)$

$\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t\\ y=-1+t\\z=-2+t \end{array} \right. , t\in R$
Tọa độ hình chiếu vuông góc của

$A$ trên

$(P)$ là giao của

$\left\{ \begin{array}{l} d\\ (P) \end{array} \right.$

$-1+t-1+t-2+t-1=0$
Khi và chỉ khi

$t=2\Rightarrow u(1;1;0)$
Mặt phẳng