PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

I.    LÝ THUYẾT
Tóm tắt lý thuyết:
Cho $2$ số phức $z=a+bi$ và $z’=a’+b’i$ thì:
$z+z’=(a+a’) + (b+b’)i$ và $z-z’=(a-a’) + (b-b’)i$
$z.z’=(aa’-bb’)+ (ab’+a’b)i$
Số phức $\overline z $$=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp của số phức $z$
$\left| z \right|$ là mô đun của số phức $z$ đó là số thực không âm được xác định như sau :
•    Nếu $M(a;b)$ biểu diễn số phức $z =a+bi$ thì $\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
•    Nếu $z=a+bi$ thì $\left| z \right| = \sqrt {z.\overline z }  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Số phức nghịch đảo của số phức $z$ là ${z^{ - 1}}$được xác định như sau
                       ${z^{ - 1}} = \frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Lý thuyết đầy đủ về số phức được viết trong bài: "Số phức - một sô dạng bài tập căn bản"

II. BÀI TẬP
Phương Pháp :
Phương trình bậc hai, dù là hệ số thực hay hệ số phức ta đều phải tính biệt thức $\Delta=b^2-4ac$ rồi tính căn bậc hai của $\Delta$ là $\delta$ rồi áp dụng công thức tính nghiệm.
Việc giải phương trình, hệ phương trình tương tự như thực hiện trên tập số thực, nhưng cần chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của số phức.

Căn bậc hai của số phức:
Gọi $w = x + yi$ với $x,y$$ \in R$ là một căn bậc hai của số phức $z$
Ta có  ${{\text{w}}^{\text{2}}} = a + bi$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi$ $ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}
  {x^2} - {y^2} = a  \\
  2xy = b  \\
\end{array}  \right.$
Giải hệ phương trình trên tìm được các căn bậc hai của số phức $z$

Bài 1:
Gọi $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} + 2z + 10 = 0$.
Tính giá trị của biểu thức A = ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$
Lời giải:
Ta có: $\Delta $$= 1^2 - 10 = -9 = 9i^2$
Phương trình có các nghiệm: $z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i$
Ta có: ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} = 20$

Bài 2:
Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $ và $z.\overline z  = 25$
Lời giải:
Đặt $z = a + bi$ với $a, b$ $ \in $ $\mathbb{R}$, ta có:
$\left\{ \begin{array}
  z.\overline z  = 25  \\
  \left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10}   \\
\end{array}  \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
  {a^2} + {b^2} = 25  \\
  \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10}   \\
\end{array}  \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
  {a^2} + {b^2} = 25  \\
  {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 10  \\
\end{array}  \right.$
$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}
  {a^2} + {b^2} = 25  \\
  2a + b = 10  \\
\end{array}  \right.$ $ \Leftrightarrow $ $\left[ \begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  a = 3  \\
  b = 4  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left\{ \begin{array}
  a = 5  \\
  b = 0  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.$
Vậy có hai số phức cần tìm : $z = 3 + 4i  , z = 5 + 0i$

Bài 3:
Giải phương trình sau (ẩn $z$): $z + 2\bar z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}$
Lời giải:
Giả sử $z = a + bi$; $z + 2\bar z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}$
$ \Rightarrow (*) \Leftrightarrow a + bi + 2\left( {a - bi} \right) = 1 + 10i + 25{i^2}$
$ \Leftrightarrow 3a - bi =  - 24 + 10i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  3a =  - 24  \\
   - b = 10  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  a =  - 8  \\
  b =  - 10  \\
\end{array}  \right.\\ \Rightarrow z =  - 8 - 10i$

Bài 4:
Tìm căn bậc hai của số phức sau: $z =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Lời giải:
Ta có: $z =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = 3\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 3\left( {c{\text{os}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{4}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{4}}}} \right)$
Suy ra z có hai căn bậc hai là:
 w = $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\left( {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \frac{{k2\pi }}{2}} \right) + {\text{isin}}\left( {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \frac{{k2\pi }}{2}} \right)} \right]$ $\left( {k = 0;1} \right)$
+ Khi $k = 0 \Rightarrow $w = $\sqrt 3 \left( {c{\text{os}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}}} \right)$
+ khi $k = 1 \Rightarrow $ w = $\sqrt 3 \left[ {c{\text{os}}\left( {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \pi } \right) + {\text{isin}}\left( {\frac{{{\text{3}}\pi }}{{\text{8}}} + \pi } \right)} \right]$
                           = $\sqrt 3 \left( {c{\text{os}}\frac{{{\text{11}}\pi }}{{\text{8}}} + {\text{isin}}\frac{{{\text{11}}\pi }}{{\text{8}}}} \right)$

Bài 5:
Giải phương trình sau trên $\mathbb{C}$ (ẩn z): ${z^4} + 2{z^3} - {z^2} + 2z + 1 = 0$
Lời giải:
${z^4} + 2{z^3} - {z^2} + 2z + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} + 2\left( {z + \frac{1}{z}} \right) - 1 = 0$ (do z $ \ne $0)
Đặt w = ${\text{z + }}\frac{{\text{1}}}{{\text{z}}} \Rightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {{\text{w}}^{\text{2}}} - 2$, ta được:
${{\text{w}}^{\text{2}}} - 2 + 2w - 1 = 0 \Leftrightarrow {{\text{w}}^{\text{2}}} + 2w - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  {\text{w = 1}}  \\
  {\text{w =  - 3}}  \\
\end{array}  \right.$
Do đó: $z + \frac{1}{z} = 1$ $(1)$ hay $z + \frac{1}{z} =  - 3$ $(2)$
+ Giải $(1)$ $ \Leftrightarrow {z^2} - z + 1 = 0$
Ta có: $\Delta  = 1 - 4 =  - 3 = {\left( {\sqrt 3 i} \right)^2}$
Vậy phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt: ${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2};{z_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}$
+ Giải $(2)$ $ \Leftrightarrow {z^2} + 3z + 1 = 0$. Ta có: $\Delta  = 9 - 4 = 5$
Vậy phương trình $(2)$ có hai nghiệm phân biệt:
${z_3} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};{z_4} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}$
Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:
${z_1} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2};{z_2} = \frac{{1 - \sqrt 3 i}}{2}$;${z_3} = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};{z_4} = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}$

Bài 6:
Giải phương trình sau trên $\mathbb{C}$ (ẩn $z$): $2{z^4} - 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0$
Lời giải:
$2{z^4} - 2{z^3} + {z^2} + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) - 2\left( {z - \frac{1}{z}} \right) + 1 = 0$
Đặt w = $z - \frac{1}{z} \Rightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {{\text{w}}^{\text{2}}} + 2$, ta được:
$2\left( {{{\text{w}}^{\text{2}}} + 2} \right) - 2w + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{w^2} - 2w + 5 = 0$
+  Giải: $2{w^2} - 2w + 5 = 0$$(*)$
Ta có: ${\Delta ^'} = 1 - 10 =  - 9 = {\left( {3i} \right)^2}$
Vậy phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt: ${{\text{w}}_{\text{1}}} = \frac{{1 + 3i}}{2};{{\text{w}}_{\text{2}}} = \frac{{1 - 3i}}{2}$
Do đó: $z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2}$   $(1)$ hay $z - \frac{1}{z} = \frac{{1 - 3i}}{2}$   $(2)$
+ Giải (1) $ \Leftrightarrow {z^2} - \left( {\frac{{1 + 3i}}{2}} \right)z - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{z^2} - \left( {1 + 3i} \right)z - 2 = 0$
Ta có: $\Delta  = {\left( {1 + 3i} \right)^2} + 16 = 8 + 6i$
Số phức $z = x + yi$ $(x,y \in \mathbb{R})$là căn bậc hai của $\Delta  = 8 + 6i$ khi và chỉ khi
${z^2} = 8 + 6i \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 8 + 6i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 8 + 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - {y^2} = 8  \\
  2xy = 6  \\
\end{array}  \right.$  $(**)$
Giải $(**)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = 8  \\
  y = \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0  \\
  y = \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} = 9  \\
  y = \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right.$
                $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  \pm 3  \\
  y = \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x = 3  \\
  y = 1  \\
\end{array}  \right.hay\left\{ \begin{array}
  x =  - 3  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.$
Suy ra có hai căn bậc hai của $\Delta $ là $3 + i$ và $3 - i$
Vậy phương trình $(1)$ có hai nghiệm:
${z_1} = \frac{{1 + 3i + 3 + i}}{4} = 1 + i;{z_2} = \frac{{1 + 3i - 3 - i}}{4} =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$
+ Giải $(2)$ $ \Leftrightarrow {z^2} - \left( {\frac{{1 - 3i}}{2}} \right)z - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{z^2} - \left( {1 - 3i} \right)z - 2 = 0$
Ta có: $\Delta  = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 16 = 8 - 6i$
Số phức $z = x + yi$ $\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$là căn bậc hai của $\Delta  = 8 - 6i$ khi và chỉ khi
${z^2} = 8 - 6i \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 8 - 6i \\\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 8 - 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - {y^2} = 8  \\
  2xy =  - 6  \\
\end{array}  \right.$$(***)$
Giải $(***)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} - \frac{9}{{{x^2}}} = 8  \\
  y =  - \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0  \\
  y =  - \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right.$
                  $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  {x^2} = 9  \\
  y =  - \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
  x =  \pm 3  \\
  y =  - \frac{3}{x}  \\
\end{array}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
  \left\{ \begin{array}
  x = 3  \\
  y =  - 1  \\
\end{array}  \right.  \\
  \left\{ \begin{array}
  x =  - 3  \\
  y = 1  \\
\end{array}  \right.  \\
\end{array}  \right.$
Suy ra có hai căn bậc hai của $\Delta $ là $ - 3 + i$ và $3 - i$
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm: ${z_3} = \frac{{1 - 3i + 3 - i}}{4} = 1 - i;{z_4} = \frac{{1 - 3i - 3 + i}}{4} =  - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$
Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm:
${z_1} = 1 + i;{z_2} =  - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$;${z_3} = 1 - i;{z_4} =  - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

Bài 7:
Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: $\left\{ \begin{array}
  {Z_1} + {Z_2} = 2 + 3i  \\
  Z_1^2 + Z_2^2 = 5 - 4i  \\
\end{array}  \right.$
Lời giải:
HPT $ \Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{array}
  {Z_1} + {Z_2} = 2 + 3i  \\
  {Z_1}.{Z_2} =  - 5 + 8i  \\
\end{array}  \right.$
$Z_1$ và $Z_2$ là $2$ nghiệm phương trình: $Z^2 - (2 + 3i)Z - 5 + 8i = 0$
Ta có $\Delta $ = $15 - 20i = {\left[ {\sqrt 5 \left( {2 - i} \right)} \right]^2}$
Nên $\left[ \begin{array}
  {Z_1} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}i  \\
  {Z_2} = \left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}i  \\
\end{array}  \right.$

Bài tập tự giải:
Bài 1:  
Giải phương trình:
$a.\quad \left| z \right| - z = 1 + 2i$.              $b.\quad \left| z \right| + z = 2 + i$.
Bài 2:  
Giải phương trình: ${z^6} - 7{z^3} - 8 = 0$.
Bài 3:
Giải các phương trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức:
a) $\left( {4 - 5i} \right)z = 2 + i$                        b) ${\left( {3 - 2i} \right)^2}\left( {z + i} \right) = 3i$
c) ${\left( {z + i} \right)^2} = 1$                                d) $\left( {z + 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 2 + 4i$
e) ${\left( {z + 2i} \right)^2} + 2\left( {z + 2i} \right) - 3 = 0$           f) ${\left( {\frac{{4z + i}}{{z - i}}} \right)^2} - 5\frac{{4x + i}}{{z - i}} + 6 = 0$
Bài 4:
Tìm các căn bậc hai của số phức :
a) $-5 + 12i$               b) $ - 17 - 20\sqrt 2 i$
Bài 5:
Cho phương trình $\left( {z + i} \right)\left( {{z^2} - 2mz + {m^2} - 2m} \right) = 0$. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.   
c) Có ba nghiệm phức.
Bài 6:
Tìm tham số $m$ để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm ${z_1}$, ${z_2}$ thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a) ${z^2} - mz + m + 1 = 0$, điều kiện ${z_1}^2 + {z_2}^2 = {z_1}.{z_2} + 1$.
b) ${z^2} - 3mz + 5i = 0$, điều kiện ${z_1}^3 + {z_2}^3 = 18$.
Bài 7:Tìm số phức $a$ để pt bậc hai $z^2 + az + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng $8$.