SỬ DỤNG CÔNG CỤ ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

I. PHƯƠNG PHÁP
Bắt đầu từ những khai triển Newton:
a) ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$

b) ${\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow  - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^2.2x - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$

c) ${\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} + C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} + ... + C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$

d) ${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$

Hoặc đạo hàm đến cấp 2:
$n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 + C_n^3.3.2x + ... + C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}$
$n(n - 1){\left( {1 - x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 - C_n^3.3.2x + C_n^4.4.3{x^2}... + {( - 1)^n}C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}$
$n(n - 1){\left( {x + 1} \right)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...C_n^{n - 3}.3.2x + C_n^{n - 2}.2.1$
$n(n - 1){(x - 1)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} - C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...$
                                                                $+ {( - 1)^{n - 3}}C_n^{n - 3}.3.2x + {( - 1)^{n - 2}}C_n^{n - 2}.2.1$

-  Tùy thuộc từng bài mà thế số mũ $n$, giá trị $x$ và một trong các công thức trên cho phù hợp.
-  Nếu mất những số hạng đầu ($C_n^0,C_n^1$) ta sử dụng các công thức chứa $\left( {1 + x} \right)$ nếu tổng không đan dấu, chứa $\left( {1 - x} \right)$ nếu tổng đan dấu. Nếu mất những số hạng sau $\left( {C_n^n,C_n^{n - 1}} \right)$ ta sử dụng các công thức chứa $\left( {x + 1} \right)$ nếu tổng không đan dấu, chứa $\left( {x - 1} \right)$ nếu tổng đan dấu.
-  Nếu mất một số hạng thì ta đạo hàm cấp 1, nếu mất 2 số hạng thì ta đạo hàm cấp 2.

Ta sẽ bàn phân tích kỹ cách áp dụng của phương pháp này trong từng bài toán cụ thể.

II. BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh $\sum\limits_{k = 1}^n {{3^{k - 1}}.kC_n^k = n{{.4}^{n - 1}}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
Ta có:
     ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thế $x = 3$ ta được $n{.4^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2.3 + ...C_n^n.n{.3^{n - 1}} = \sum\limits_{k = 1}^n {k{{.3}^{k - 1}}C_n^k}$

Bài 2:
Chứng minh rằng $C_n^1 + 2C_n^2 + 3C_n^3 + ... + nC_n^n = n{.2^{n - 1}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$, ta có điều phải chứng minh.

Bài 3:
Chứng minh: $2.1C_n^2 + 3.2C_n^3 + 4.3C_n^4 + ... + n(n - 1)C_n^n = n(n - 1){.2^{n - 2}}$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của n, mất $C_n^0,C_n^1$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 2.
Giải:
     ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime }^\prime  = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }^\prime   \\    \Rightarrow n(n - 1){\left( {1 + x} \right)^{n - 2}} = C_n^2.2.1 + C_n^3.3.2x + ... + C_n^nn(n - 1){x^{n - 2}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ vào đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh.

Bài 4:
Chứng minh $1C_n^1 - 2C_n^2 + 3C_n^3 - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}nC_n^n = 0$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$ và tổng đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 - x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
    ${\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow  - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^2.2x - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Hay $C_n^1 - C_n^2.2x + C_n^3.3{x^2} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^n.n{x^{n - 1}} = n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 5:
Chứng minh $nC_n^0 - (n - 1)C_n^1 + (n - 2)C_n^2 - (n - 3)C_n^3 + ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1} = 0$
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^n$ và tổng đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {x - 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
     ${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 6:
Chứng minh $n(n - 1){2^{n - 2}} = n(n - 1)C_n^0 + (n - 1)(n - 2)C_n^1 + ... + 2C_n^{n - 2}$.
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của $n$, mất $C_n^{n - 1},C_n^n$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {x + 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 2.
Giải:
 ${\left( {x + 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n$
$\Rightarrow {\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^n}} \right]^{\prime \prime }} = {\left[ {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} + ... + C_n^{n - 1}x + C_n^n} \right]^{\prime \prime }}$ hay
$n(n - 1){\left( {x + 1} \right)^{n - 2}} = C_n^0n(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^1(n - 1)(n - 2){x^{n - 3}} + ...C_n^{n - 3}.3.2x + C_n^{n - 2}.2.1$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 7:
Tính $A = C_{12}^1 + 2C_{12}^2 + 3C_{12}^3 + ... + 12C_{12}^{12}$.
Phân tích: trong tổng có tổ hợp của 12, mất $C_{12}^0$ và tổng không đan dấu nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^{12}}$.
Giải:
 ${\left( {1 + x} \right)^{12}} = C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^{12}}} \right]^\prime } = {\left[ {C_{12}^0 + C_{12}^1x + C_{12}^2{x^2} + C_{12}^3{x^3} + ... + C_{12}^{12}{x^{12}}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow 12{\left( {1 + x} \right)^{11}} = C_{12}^1 + 2C_{12}^2x + 3C_{12}^3{x^2}... + 12C_{12}^{12}{x^{11}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 1$ ta được $A = {12.2^{11}}$.

Bài 8:
Chứng minh:
${( - 1)^{n - 1}}C_n^1 + {( - 1)^{n - 2}}.2.2C_n^2 + ... + {( - 1)^{n - k}}.k{.2^{k - 1}}C_n^k + ... + n{.2^{n - 1}}C_n^n = n$
Phân tích: do $- 1$ đi kèm với lũy thừa, giữa các số hạng là dấu $+$ nên ta xem như tổng không đan dấu, chứa tổ hợp của $n$, mất $C_n^0$. Ta sử dụng ${\left( { - 1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( { - 1 + x} \right)^n} = {( - 1)^n}C_n^0 + {( - 1)^{n - 1}}C_n^1x + {( - 1)^{n - 2}}C_n^2{x^2} + ... + {( - 1)^{n - k}}C_n^k{x^k} + ... + C_n^n{x^n}$
$\Rightarrow {\left[ {{{\left( { - 1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {{{( - 1)}^n}C_n^0 + {{( - 1)}^{n - 1}}C_n^1x + {{( - 1)}^{n - 2}}C_n^2{x^2} + ... + {{( - 1)}^{n - k}}C_n^k{x^k} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }$
$\Rightarrow n{( - 1 + x)^{n - 1}} = {( - 1)^{n - 1}}C_n^1 + {( - 1)^{n - 2}}2C_n^2x + ... + {( - 1)^{n - k}}kC_n^k{x^{k - 1}} + ... + nC_n^n{x^{n - 1}}$
Thay $x = 2$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 9:
Chứng minh
$n{4^{n - 1}}C_n^0 - (n - 1){4^{n - 2}}C_n^1 + (n - 2){4^{n - 3}}C_n^2 - ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1} = C_n^1 + 2.2C_n^2 + ...n{.2^{n - 1}}C_n^n$
Phân tích: vế trái chứa tổ hợp của $n$, đan dấu, mất $C_n^n$ nên ta sử dụng ${\left( {x - 1} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1. Vế phải cũng chứa tổ hợp của $n$ nhưng không đan dấu, mất $C_n^0$ nên ta sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$, đạo hàm cấp 1.
Giải:
${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0{x^n} - C_n^1{x^{n - 1}} + C_n^2{x^{n - 2}} - ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}C_n^{n - 1}x + {{\left( { - 1} \right)}^n}C_n^n} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = C_n^0n{x^{n - 1}} - C_n^1(n - 1){x^{n - 2}} + C_n^2\left( {n - 2} \right){x^{n - 3}} - ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1}  \\ \end{array}$
Thay $x = 4$ ta được
$n{3^{n - 1}} = n{4^{n - 1}}C_n^0 - (n - 1){4^{n - 2}}C_n^1 + (n - 2){4^{n - 3}}C_n^2 - ... + {( - 1)^{n - 1}}C_n^{n - 1}$           (1)
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
$\begin{array}    \Rightarrow {\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^n}} \right]^\prime } = {\left[ {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right]^\prime }  \\    \Rightarrow n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}  \\ \end{array}$
Thay $x = 2$ ta được $n{3^{n - 1}} = C_n^1 + 2.2C_n^2 + ...n{.2^{n - 1}}C_n^n$        (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài 10:
Chứng minh $C_n^0 + 2C_n^1 + 3C_n^2 + ... + (n + 1)C_n^n = (n + 2){2^{n - 1}}$
Phân tích: tổng chứa tổ hợp của $n$, không đan dấu, hệ số gắn với $C_n^n$ lớn nhất nên ta sử dụng ${(1 + x)^n}$.
Thông thường là $kC_n^k$ song ở đây lại là $(k + 1)C_n^k$, hệ số đầu chênh lệch hơn 1 đơn vị nên ta nhân thêm 2 vế với $x$.
Giải:
$x{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0x + C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + ... + C_n^n{x^{n + 1}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$(nx + x + 1){(1 + x)^{n - 1}} = C_n^0 + 2C_n^1x + 3C_n^2{x^2} + ... + (n + 1)C_n^n{x^n}$
Thế $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 11:
Chứng minh $(n + 4){2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$
Phân tích: tương tự như bài trên nhưng độ chênh lệch ở đây là 2 nên ta nhân thêm ${x^2}$ trước khi đạo hàm.
Giải:
${x^2}{(1 + x)^n} = C_n^0{x^2} + C_n^1{x^3} + C_n^2{x^4} + ... + C_n^n{x^{n + 2}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$2x{(1 + x)^n} + n{x^2}{(1 + x)^{n - 1}} = 2C_n^0x + 3C_n^1{x^2} + 4C_n^2{x^3} + ... + (n + 2)C_n^n{x^{n + 1}}$
Thay $x = 1$ ta được
      ${2^{n + 1}} + n{.2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$
$\Leftrightarrow (n + 4){2^{n - 1}} = 2C_n^0 + 3C_n^1 + 4C_n^2 + ... + (n + 2)C_n^n$

Bài 12:
Với $n \in {\mathbb{Z}^ + }$, $n > 2$, chứng minh
$C_n^0 - 2C_n^1 + 3C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}(n + 1)C_n^n = 0$
Giải:
$x{\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0x - C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} - ...{( - 1)^n}C_n^n{x^{n + 1}}$
Đạo hàm 2 vế ta được
${(1 - x)^n} - nx{(1 - x)^{n - 1}} = C_n^0 - 2C_n^1x + 3C_n^2{x^2} - ... + {( - 1)^n}(n + 1)C_n^n{x^n}$
Thay $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 13:
Với $n \in {\mathbb{Z}^ + }$, $n > 2$, chứng minh
$(n + 2)C_n^0 - (n + 1)C_n^1 + nC_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}2C_n^n = 0$
Giải:
${x^2}{(x - 1)^n} = C_n^0{x^{n + 2}} - C_n^1{x^{n + 1}} + C_n^2{x^n} - ... + {( - 1)^n}C_n^n{x^2}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$2x{\left( {x - 1} \right)^n} + n{x^2}{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}} = (n + 2)C_n^0{x^{n + 1}} - (n + 1)C_n^1{x^n} + nC_n^2{x^{n - 1}} - ... + {( - 1)^n}.2C_n^nx$
Thế $x = 1$ ta có điều phải chứng minh.

Bài 14:
Tính $S = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {3^2}C_n^3 + ... + {n^2}C_n^n$.
Phân tích: tổng mất $C_n^0$, không đan đấu, $n$ gắn với $C_n^n$ nên ta sẽ sử dụng ${\left( {1 + x} \right)^n}$ đạo hàm. Sau đạo hàm các hệ số là $kC_n^k$, nhưng hệ số đề ra lại là ${k^2}C_n^k$, ta phải đạo hàm lần nữa nhưng lại không được mất $C_n^1$ nên ta nhân thêm 2 vế với $x$ trước khi đạo hàm.
Giải:
${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế ta được
$n{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1 + C_n^2.2x + ... + C_n^n.n{x^{n - 1}}$
Nhân 2 vế với $x$
$nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}} = C_n^1x + C_n^2.2{x^2} + ... + C_n^n.n{x^n}$
Đạo hàm 2 vế lần nữa ta được
$n{(1 + x)^{n - 1}} + n(n - 1)x{(1 + x)^{n - 2}} = C_n^1 + C_n^2{2^2}x + ... + C_n^n{n^2}{x^{n - 1}}$
Thế $x = 1$ ta được
$n{.2^{n - 1}} + n(n - 1){2^{n - 2}} = S$
Hay $S = n(n + 1){2^{n - 2}}$

Bài tập tự giải:
Bài 1:
Tính tổng $S = C_{2012}^0 + 2C_{2012}^1 + 3C_{2012}^2 + ... + 2013C_{2012}^{2012}$
Bài 2:
Tính $S = 2012.2011C_{2012}^0 - 2011.2010C_{2012}^1 + 2010.2009C_{2012}^2 - ... + 2.1C_{2012}^{2010}$
Bài 3:
Tính
$S = {2012.3^{2011}}C_{2012}^0 - {2011.3^{2010}}C_{2012}^1 + {2010.3^{2009}}C_{2012}^2 - ... + 2.3C_{2012}^{2010} - C_{2012}^{2011}$
Bài 4:
Tính $S = {1^2}C_{2012}^1 + {2^2}C_{2012}^2 + ... + {2012^2}C_{2012}^{2012}$