Trước hết ta nhắc lại công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa :
f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
Phương pháp này thường áp dụng đối với giới hạn có dạng limx→x0f(x)g(x); trong đó g′(x0)≠0, g′(x0) tồn tại hữu hạn và f(x0)=g(x0)=0, tức là dạng giới hạn 00.
Nếu giới hạn limx→x0f(x)g(x) thỏa mãn các điều kiện trên thì phương pháp này rất có hiệu quả và dễ thực hiện hơn nhiều so với các phương pháp bình thường như : phương pháp thêm bớt hạng tử, dùng biểu thức liên hợp, sử dụng các giới hạn lượng giác cơ bản.
Ta sẽ cùng xét các ví dụ sau :
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau
L=limx→0x−sinxx+sinx
Lời giải :
Đặt : f(x)=x−sinx thì f(0)=0
và f′(x)=1−cosx nên f′(0)=0
Đặt : g(x)=x+sinx thì g(0)=0
và g′(x)=1+cosx nên g′(0)=2
Ta có :
L=limx→0f(x)g(x)=limx→0f(x)xlimx→0g(x)x=limx→0f(x)−f(0)x−0limx→0g(x)−g(0)x−0=f′(0)g′(0)=0
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
L=limx→2√1+x+x2−√7+2x−x2x2−2x
Lời giải :
Đặt : f(x)=√1+x+x2−√7+2x−x2 thì f(2)=0
và f′(x)=1+2x2√1+x+x2−1−x√7+2x−x2 nên f′(2)=52√7+1√7=√72
Đặt : g(x)=x2−2x thì g(0)=0
và g′(x)=2x−2 nên g′(0)=2
Ta có :
L=limx→2f(x)g(x)=limx→2f(x)x−2limx→2g(x)x−2=limx→2f(x)−f(2)x−2limx→2g(x)−g(2)x−2=f′(2)g′(2)=√74
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
L=limx→1√5−x−3√x2+7x2−1
Lời giải :
Đặt : f(x)=√5−x−3√x2+7 thì f(1)=0
và
f′(x)=−12√5−x−2x33√(x2+7)2
nên
f′(1)=−14−16=−512
Đặt : g(x)=x2−1 thì g(1)=0
và g′(x)=2x nên g′(1)=2
Ta có :
L=limx→1f(x)g(x)=limx→1f(x)x−1limx→1g(x)x−1=limx→1f(x)−f(1)x−1limx→1g(x)−g(1)x−1=f′(1)g′(1)=−524
Trong ví dụ này, nếu ta sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử và dùng biểu thức liên hợp thì thực hiện như sau :
L=limx→1√5−x−2+2−3√x2+7x2−1
=limx→1√5−x−2x2−1+limx→12−3√x2+7x2−1
=limx→11−x(x2−1)(√5−x+2)+limx→11−x2(x2−1)(4+23√x2+7+3√(x2+7)2)
=−limx→11(x+1)(√5−x+2)−limx→114+23√x2+7+3√(x2+7)2
=−18−112=−524
Độc giả có thể tự đọc và suy ngẫm về những ưu điểm của từng phương pháp. Và ví dụ tiếp theo đây sẽ minh họa thêm về tính hiệu quả của phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn.
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
L=limx→0(x3+2013)5√1−3x−2013x
Lời giải :
Đặt : f(x)=(x3+2013)5√1−3x−2013 thì f(0)=0
và
f′(x)=3x2.5√1−3x−3(x3+2013)55√(1−3x)4
nên
f′(0)=−60395
Đặt : g(x)=x thì g(0)=0
và g′(x)=1 nên g′(0)=1
Ta có :
L=limx→0f(x)g(x)=limx→0f(x)x−0limx→0g(x)x−0=limx→0f(x)−f(0)x−0limx→0g(x)−g(0)x−0=f′(0)g′(0)=−60395
Rõ ràng trong bài toán này ta sẽ rất khó định hướng được hướng làm nếu chỉ nghĩ đến các phương pháp quen thuộc.
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
L=limx→π3tan3x−3tanxcos(x+π6)
Lời giải :
Đặt : f(x)=tan3x−3tanx thì f(π3)=0
và
f′(x)=3tan2x.1cos2x−3.1cos2x
nên
f′(π3)=24
Đặt : g(x)=cos(x+π6) thì g(π3)=0
và g′(x)=−sin(x+π6) nên g′(π3)=−1
Ta có :
L=limx→π3f(x)g(x)=limx→π3f(x)x−π3limx→π3g(x)x−π3=limx→π3f(x)−f(π3)x−π3limx→π3g(x)−g(π3)x−π3=f′(π3)g′(π3)=−24
Ví dụ 6. Tính giới hạn sau
L=limx→1xx−1xlnx
Lời giải :
Đặt : f(x)=xx−1=elnxx−1=exlnx−1 thì f(1)=0
và
f′(x)=exlnx(1+lnx)
nên
f′(1)=1
Đặt : g(x)=xlnx thì g(1)=0
và g′(x)=1+lnx nên g′(1)=1
Ta có :
L=limx→1f(x)g(x)=limx→1f(x)x−1limx→1g(x)x−1=limx→1f(x)−f(1)x−1limx→1g(x)−g(1)x−1=f′(1)g′(1)=1
Ví dụ 7. Tính giới hạn sau
L=limx→+∞(1+2x)3x
Lời giải :
Ta có :
L=limx→+∞(1+2x)3x=limx→+∞e3xln(1+2x)=eL1
Trong đó : L1=limx→+∞3xln(1+2x)=⏟t=1xlimt→03ln(1+2t)t
Đặt : f(t)=3ln(1+2t) thì f(0)=0
và
f′(t)=61+2t
nên
f′(0)=6
Đặt : g(t)=t thì g(0)=0
và g′(t)=1 nên g′(0)=1
Ta có :
L1=limt→0f(t)g(t)=limt→0f(t)t−0limt→0g(t)t−0=limt→0f(t)−f(0)t−0limt→0g(t)−g(0)t−0=f′(0)g′(0)=6
Tóm lại L=eL1=e6
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tính các giới hạn sau bằng phương pháp dùng định nghĩa đạo hàm
1.L=limx→8√9+2x−53√x−2
2.L=limx→01−√2x+1+sinx√3x+4−2−x
3.L=limx→01−4x1−ex
4.L=limx→0ln(x+1)x
5.L=limx→0ex−1x
6L=limx→aax−xax−a(a>0)
7.L=limx→0(x2)1x−2