BIỆN
LUẬN THAM SỐ ĐỂ HÀM PHÂN THỨC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và có đạo hàm trên D
* Hàm số đồng biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \geqslant
0,\forall x \in (a,b)$
* Hàm số nghịch biến trên $(a,b) \subset D\,\,\,khi\,\,\,f'(x) \leqslant
0,\forall x \in (a,b)$
2. Xét tam thức bậc hai $f(x) =
{\text{a}}{{\text{x}}^{\text{2}}} + bx + c$, $a \ne 0$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}
aa> 0 \\
\Delta \leqslant 0 \\
\end{array} \right.$
* ${\text{a}}{{\text{x}}^2} + bx + c \leqslant 0 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}
aa< 0 \\
\Delta \leqslant 0 \\
\end{array} \right.$
3. Giả sử tồn tại $\mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x)$
$\begin{array}
f(x) < g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop
{m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x) < g(m) \\
f(x) \leqslant g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop
{m{\text{ax}}}\limits_{x \in K} f(x) \leqslant g(m) \\
\end{array} $
Giả sử tồn tại $\mathop {\min }\limits_{x \in K} f(x)$
$\begin{array}
f(x) > g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x
\in K} f(x) > g(m) \\
f(x) \geqslant g(m),\forall x \in K \Leftrightarrow \mathop {\min
}\limits_{x \in K} f(x) \geqslant g(m) \\
\end{array} $
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{mx - 2}}{{x + m - 3}}$ luôn đồng biến
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {3 - m} \right\}$
$y' = \frac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{(x + m - 3)}^2}}}$
Hàm số luôn đồng biến khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne 3 - m$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \geqslant 0 \\
\Leftrightarrow m \leqslant 1 \vee m \geqslant 2 \\
\end{array} $
Bài 2.
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + m - 2}}{{x + 1}}$. Tìm m để hàm số đồng
biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}$
$y' = \frac{{{x^2} + 2x + {m^2} - m + 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên tập xác định khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne - 1$
$\begin{array}
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + {m^2} + m - 2 \geqslant 0,\forall x
\ne - 1 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = 1 > 0 \\
\Delta = - {m^2} - m + 3 \leqslant 0 \\
{( - 1)^2} + 2( - 1) + {m^2} + m - 2 \ne 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m < \frac{{1 + \sqrt {13} }}{{ - 2}} \vee m
> \frac{{1 - \sqrt {13} }}{{ - 2}} \\
\end{array} $
Bài 3.
Cho hàm số $y = \frac{x}{{x - m}}$. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng
khoảng xác định
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ m \right\}$
$y' = \frac{{ - m}}{{{{(x - m)}^2}}}$
Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi $y' \geqslant 0,\forall x
\ne m$
$\begin{array}
\Leftrightarrow - m \geqslant 0 \\
\Leftrightarrow m \leqslant 0 \\
\end{array} $
Bài 4.
Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} - (m + 2)x + {m^2} - 2m + 2}}{{x - 1}}$. Xác định
m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$
$y' = \frac{{m{x^2} + 2mx - {m^2} + 3m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$
Trường hợp 1: $m = 0 \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow $ chưa xác định được tính
đơn điệu của hàm số nên m=0 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2: $m \ne 0$
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi $y' \leqslant 0,\forall x \ne
1$
$\begin{array}
\Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - {m^2} + 3m \leqslant 0,\forall x
\ne 1 \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m < 0 \\
\Delta ' = {m^3} - 2{m^2} \leqslant 0 \\
m{1^2} + 2m.1 - {m^2} + 3m \ne 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m < 0 \\
m - 2 \leqslant 0 \\
m \ne 0,m \ne 6 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m < 0 \\
\end{array} $
Bài 5.
Cho hàm số $y = \frac{{(m + 1){x^2} - 2mx - ({m^3} - {m^2} + 2)}}{{x - m}}$.
Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ m \right\}$
$y' = \frac{{(m + 1){x^2} - 2({m^2} + m)x + {m^3} + {m^2} + 2}}{{{{(x -
m)}^2}}}$
Trường hợp 1: $m = - 1 \Rightarrow y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1}
\right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1 \Rightarrow $ m = - 1 thỏa yêu cầu
bài toán
Trường hợp 2: $m \ne - 1$
Hàm số đồng biến trên R khi $y' \geqslant 0,\forall x \ne m$
$\begin{array}
\Leftrightarrow (m + 1){x^2} - 2({m^2} + m)x + {m^3} + {m^2} + 2
\geqslant 0,\forall x \ne m \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
a = m + 1 > 0 \\
\Delta = - 2m - 2 \leqslant 0 \\
(m + 1){m^2} - 2({m^2} + m).m + {m^3} + {m^2} + 2 \ne 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m > - 1 \\
m \geqslant - 1 \\
2 \ne 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow m > - 1 \\
\end{array} $
Bài 6.
Tìm m để hàm số $y = \frac{{m{x^2} + (1 - m)x + 2m}}{{2x - 3}}$ đồng biến trên $\left[
{4; + \infty } \right)$
Lời giải:
$y' = \frac{{2m{x^2} - 6mx - 3 - m}}{{{{(2x - 3)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên $\left[ {4; + \infty } \right)$khi $y' = \frac{{2m{x^2} -
6mx - 3 - m}}{{{{(2x - 3)}^2}}} \geqslant 0,\forall x \in \left[ {4; + \infty }
\right)$
$\begin{array}
\Leftrightarrow 2m{x^2} - 6mx - 3 - m \geqslant 0,\forall x \in
\left[ {4; + \infty } \right) \\
\Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{{2{x^2} - 6x - 1}} =
g(x),\forall x \in \left[ {4; + \infty } \right) \\
\Leftrightarrow m \geqslant \mathop {m{\text{ax}}}\limits_{x \in
\left[ {4; + \infty } \right)} g(x) \\
\end{array} $
Ta có: $g'(x) = \frac{{ - 6(2x - 3)}}{{{{(2{x^2} - 6x - 1)}^2}}} < 0,\forall
x \in \left[ {4; + \infty } \right) \Rightarrow $ g(x) là hàm số nghịch biến
trên $\left[ {4; + \infty } \right)$ nên $m \geqslant \mathop
{m{\text{ax}}}\limits_{x \in \left[ {4; + \infty } \right)} g(x) = f(4) =
\frac{3}{7}$
Bài 7.
Định m để hàm số $y = \frac{{ - 2{x^2} - 3x + m}}{{2x + 1}}$ nghịch biến trong
khoảng $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}$
$y' = \frac{{ - 4{x^2} - 4x - 3 - 2m}}{{{{(2x + 1)}^2}}}$
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$ khi $y' =
\frac{{ - 4{x^2} - 4x - 3 - 2m}}{{{{(2x + 1)}^2}}} \leqslant 0,\forall x \in
\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)$
$\begin{array}
\Leftrightarrow m \geqslant - 2{x^2} - 2x - \frac{3}{2} =
g(x),\forall x \in \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right) \\
\Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left( { -
\frac{1}{2}; + \infty } \right)} g(x) \\
\end{array} $
Ta có: $g'(x) = - 4x - 2 < 0,\forall x \in \left( { - \frac{1}{2}; +
\infty } \right)$
Vậy: $m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left( { - \frac{1}{2}; + \infty }
\right)} g(x) = g\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 1$
Bài 8.
Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + mx + 2 - m}}{{x + m - 1}}$ (Cm). Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$
Lời giải:
TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {1 - m} \right\}$
$y' = \frac{{2{x^2} + 4(m - 1)x + {m^2} - 2}}{{{{(x + m - 1)}^2}}}$
Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty )$ khi $y' = \frac{{2{x^2} + 4(m - 1)x +
{m^2} - 2}}{{{{(x + m - 1)}^2}}} \geqslant 0,\forall x \in (0; + \infty )$
$ \Leftrightarrow g(x) = 2{x^2} + 4(m - 1)x + {m^2} - 2 \geqslant 0,\forall x
\in (0; + \infty )$
Tam thức g(x) có biệt thức $\Delta ' = 2{(m - 2)^2}$. Ta xét các trường hợp:
+ Trường hợp 1: $\Delta = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow y'
\geqslant 0,\forall x \ne - 1 \Rightarrow $ hàm số đồng biến trên $(0; +
\infty )$
Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài toán
+ Trường hợp 2: $\Delta > 0 \Leftrightarrow m \ne 2$
Với điều kiện trên thì điều kiện bài toán được thỏa khi phương trình g(x) = 0
có 2 nghiệm x1, x2 thỏa ${x_1} < {x_2} < 0 \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}
\Delta > 0 \\
S = {x_1} + {x_2} > 0 \\
P = {x_1}{x_2} > 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
2(1 - m) > 0 \\
\frac{{{m^2} - 2}}{2} > 0 \\
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
m < 1 \\
m < - \sqrt 2 \vee m > \sqrt 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \sqrt 2 $
Kết luận: với $m < - \sqrt 2 \vee m = 2$ thì yêu cầu bài toán được
thỏa
Bài 9.
Giải bất phương trình $3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x
\leqslant
6$ (1)
Lời giải
Điều kiện của bất phương trình là $\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant
\frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)$
Xét $g(x) = 3\sqrt {3 - 2x} + \frac{5}{{\sqrt {2x - 1} }} - 2x
\Rightarrow g'(x) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {3 - 2x} }} - \frac{{10}}{{2x - 1}} -
2 < 0,\forall x \in (*)$
$ \Rightarrow $ g(x) là hàm số nghịch biến trên $\left(
{\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$
Mặt khác: g(1) = 6
Khi đó: $(1) \Leftrightarrow g(x) \leqslant 6 \Leftrightarrow g(x) \leqslant
g(1) \Leftrightarrow x \geqslant 1$
Kết luận: $x \geqslant 1$ là nghiệm của bất phương trình
Giải bất phương trình $\sqrt {{x^2} - 2x + 3} - \sqrt {{x^2} - 6x +
11} > \sqrt {3 - x} - \sqrt {x - 1}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Điều kiện của bất phương trình: $1 \leqslant x \leqslant 3$
$(1) \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 2} + \sqrt {x - 1} >
\sqrt {{{(x - 3)}^2} + 2} + \sqrt {3 - x} $
Xét $f(t) = \sqrt {{t^2} + 2} + \sqrt t ,\,t \geqslant 0 \Rightarrow
f'(t) = \frac{t}{{\sqrt {{t^2} + 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt t }} > 0$
$ \Rightarrow $ f(t) đồng biến trên $(0; + \infty )$
Mặt khác: $(1) \Leftrightarrow f(x - 1) > f(3 - x) \Rightarrow x - 1 > 3
- x \Leftrightarrow x > 2$
So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là $2 < x \leqslant 3$
Bài 10.
Giải phương trình ${\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + x + 3}}{{2{x^2} + 4x + 5}}} \right) = {x^2} + 3x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Lời giải
Điều kiện $\left\{ \begin{array}
{x^2} + x + 3 > 0 \\
2{x^2} + 4x + 5 > 0 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,$(đúng $\forall x$)
$\begin{array}
(1) \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} + x + 3) - {\log _3}(2{x^2} + 4x + 5) = (2{x^2} + 4x + 5) - ({x^2} + x + 3) \\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} + x + 3) + ({x^2} + x + 3) = {\log _3}(2{x^2} + 4x + 5) + (2{x^2} + 4x + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
\end{array} $
Xét $f(t) = {\log _3}t + t \Rightarrow f'(t) = \frac{1}{{t.\ln 3}} > 0,\forall t > 0$
Mặt khác: $(2) \Leftrightarrow f({x^2} + x + 3) = f(2{x^2} + 4x + 5) \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
x = - 1 \\
x = - 2 \\
\end{array} \right.$
Vậy: $S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}$