BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ


Các phương pháp biện luận phương trình vô tỉ:
1.    Phương pháp biến đổi tương đương
2.    Phương pháp đặt ẩn phụ
3.    Phương pháp Bất đẳng thức
4.    Phương pháp hàm số và đồ thị
5.    Phương pháp điều kiện cần và đủ

1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Bài toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Phương pháp:
- Với các dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {g\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \in D} \\
  {f\left( {x,m} \right) = g\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”
Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của $f\left( {x,m} \right) \geqslant 0$ và $g\left( {x,m} \right) \geqslant 0$, thí vụ với phương trình
$\sqrt {x - m}  = \sqrt {{x^2} - 2mx + 3} $
Ta lựa chọn phép biến đổi:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - m \geqslant 0} \\
  {x - m = {x^2} - 2mx + 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant m} \\
  {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 3 + m = 0}
\end{array}} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(*)} \\
  {(1)}
\end{array}$
Dạng 2: Phương trình: $\sqrt {f\left( {x,m} \right)}  = g\left( {x,m} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) = {g^2}\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu  ý rằng: Không cần đặt điều kiện $g\left( x \right) \geqslant 0$
Dạng 3: Phương trình :$\sqrt[{}]{{f\left( {x,m} \right)}} + \sqrt {g\left( {x,m} \right)}  = \sqrt {h\left( {x,m} \right)} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {g\left( {x,m} \right) \geqslant 0} \\
  {f\left( {x,m} \right) + g\left( {x,m} \right) + 2\sqrt {f\left( {x,m} \right)g\left( {x,m} \right)}  = h\left( {x,m} \right)}
\end{array}} \right.$
Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) $ \geqslant 0$

Ví dụ 1:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  - x = m$    $\left( 1 \right)$
Giải:
Ta có:
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x + m \geqslant 0} \\
  {{x^2} - 1 = {{\left( {x + m} \right)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x \geqslant  - m} \\
  {2mx =  - {m^2} - 1}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(2)}
\end{array}$  (I)
Với m =0
Khi đó (2) vô nghiệm $ \Rightarrow $ (1) vô nghiệm
Với m$ \ne 0$
Khi đó (I) có nghiệm $ \Leftrightarrow $(2) có nghiệm thỏa mãn$x \geqslant  - m$
$ \Leftrightarrow  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} \geqslant  - m \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 1}}{{2m}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m \geqslant 1} \\
  { - 1 \leqslant m < 0}
\end{array}} \right.$
Kết luận :
- Với $m \geqslant 1$ hoặc $ - 1 \leqslant m < 0$, phương trình có nghiệm $x =  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}$
- Với $m <  - 1$hoặc $0 \leqslant m < 1$, phương trình vô nghiệm.

2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Bài toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp:
Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:
* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:
$t = \sqrt {{x^2} - 2x + 5}  = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}  \geqslant 2$
* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:
$t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $
Khi đó:
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} \leqslant \left( {3 + x + 6 - x} \right)\left( {1 + 1} \right) = 18 \Rightarrow t \leqslant 3\sqrt 2 $
${t^2} = {\left( {\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} } \right)^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \geqslant 9 \Rightarrow t \geqslant 3\sqrt 2 $
Vậy điều kiện cho ẩn phụ là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
    - Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía dưới.

Ví dụ 2.
Cho phương trình:  $\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = m$
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {3 + x \geqslant 0} \\
  {6 - x \geqslant 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow  - 3 \leqslant x \leqslant 6$
Đặt $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} $. Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ bằng cách:
Xét hàm số $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt[{}]{{6 - x}}$
* Miền xác định D= $\left[ { - 3,6} \right]$
* Đạo hàm:
$t' = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt[{}]{{6 - x}}}}$
$t' = 0 \Rightarrow \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 + x}  = \sqrt[{}]{{6 - x}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$
Ta có bảng biến thiên và rút ra điều kiện của t là $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
Suy ra : $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \frac{{{t^2} - 9}}{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
$t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 9 + 2m$=0
a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:
${t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 1} \\
  {t = 3}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array}$
Với t = 3, thay vào (2) được:
$\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x =  - 3} \\
  {x = 6}
\end{array}} \right.$
Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5
b. Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow (3)$có ít nhất một nghiệm $3 \leqslant t \leqslant 3\sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(3)} \\
  {(3)}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow f\left( 3 \right).f\left( {3\sqrt 2 } \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2  - 9}}{2} \leqslant m \leqslant 3$

Ví dụ 3.
Cho phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4(x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  = m$
a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:
Điều kiện:
$\frac{{x + 1}}{{x - 3}} \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x \leqslant  - 1}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $, suy ra $(x - 3)(x + 1) = {t^2}$
Khi đó phương trình có dạng: ${t^2} + 4t - m = 0$
a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:
Với $t =  - 3$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 3$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 12 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {13} }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {13} } \right.} \right.} \right.$ $ $
Với $t =  - 1 \Leftrightarrow (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}}  =  - 1$
    $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 4 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt 5 }
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 5 } \right.} \right.} \right.$
Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1-$\sqrt {13} $ và x = 1-$\sqrt 5 $
b. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Phương trình (1) có nghiệm $ \Rightarrow $ (2) có nghiệm $ \Leftrightarrow $ $\Delta ' \geqslant 0 \Leftrightarrow 4 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant  - 4$
Giả sử khi đó (2) có nghiệm là ${t_0}$ thì ${t_0} = (x - 3)\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 3}}} $
Với ${t_0} = 0 \Rightarrow x =  - 1$
Với  $t_0^{} > 0$ suy ra
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 > 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t_0}^2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x > 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt {4 + {t^2}_0} $
Với ${t_0} < 0$ suy ra:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x - 3 < 0} \\
  {(x - 3)(x + 1) - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {{x^2} - 2x - 3 - {t^2}_0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x < 3} \\
  {x = 1 \pm \sqrt {4 + {t^2}_0} }
\end{array}} \right.} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt {4 - {t^2}_0} $
Tóm lại: với m $ \geqslant $ 4 phương trình (1) có nghiệm.

3. PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm:
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x - 1}  = m$
Giải:
Ta có:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét
${\rm A}\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);{\rm B}\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ và điểm M(x; o)
Ta có
AB = 1
Với mọi điểm M thì $\left| {{\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M}} \right| < {\rm A}{\rm B} = 1$
Mà ${\rm A}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} $
    $\begin{array}
  {\rm B}{\rm M} = \sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}   \\
   \Leftrightarrow {\rm A}{\rm M} - {\rm B}{\rm M} = m  \\
\end{array} $
Do đó phương trình đã cho có nghiệm $ \Leftrightarrow \left| m \right| < 1$
$ \Leftrightarrow  - 1 < m < 1$

Ví dụ 2:
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {8 + 2x - {x^2}}  = a$
Giải:
ĐK: $ - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Phương trình đã cho tương đương với.
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x).(4 - x)}  = a$
Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:
$\begin{array}
  \sqrt {2 + {x_0}}  + \sqrt {4 - {x_0}}  - \sqrt {(2 + {x_0}).(4 - {x_0})}  = a  \\
   \Leftrightarrow \sqrt {2 + (2 - {x_0})}  + \sqrt {4 - (2 - {x_0})}  - \sqrt {2 + (2 - {x_0})(4 - (2 - {x_0})}  = a  \\
\end{array} $
Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 $ \Leftrightarrow $ x0 =1
Khi đó $a = 2\sqrt 3  - 3$
Điều kiện đủ: với $a = 2\sqrt 3  - 3$, ta có phương trình
$\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$  (*)
Áp dụng bất đẳng thức: ${\left( {a + b} \right)^2} \leqslant 2({a^2} + {b^2})$ có:
$\begin{array}
  {\left( {\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x} } \right)^2} \leqslant 2(2 + x + 4 - x) = 12  \\
   \Rightarrow \sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  \leqslant \sqrt {12}  = 2\sqrt 3   \\
\end{array} $
Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có
$\begin{array}
  \frac{{(2 + x) + (4 - x)}}{2} \geqslant \sqrt {(2 + x)(4 - x)}   \\
   \Rightarrow  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  \geqslant  - 3  \\
\end{array} $
Vậy $\sqrt {2 + x}  + \sqrt {4 - x}  - \sqrt {(2 + x)(4 - x)}  = 2\sqrt 3  - 3$    (1)
Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { - 2 \leqslant x \leqslant 4} \\
  {\sqrt {2 + x}  = \sqrt {4 - x} } \\
  {2 + x = 4 - x}
\end{array} \Leftrightarrow x = 1 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 3  - 3} \right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 3:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = m$    (*)
Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0
Ta có: $\sqrt[4]{{{x_0}}} + \sqrt[4]{{1 - {x_0}}} + \sqrt {{x_0}}  + \sqrt {1 - {x_0}}  = m$
$ \Rightarrow x = 1 - {x_0}$  cũng là nghiệm của phương trình (*)
Vì là nghiệm duy nhất nên ${x_0} = 1 - {x_0} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{2}$
Thay vào (*) ta được $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$  vào (*) ta được:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$    (1)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:
$\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  \leqslant 2$ (Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$)
$ \Rightarrow \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$
Vậy (1) $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Như vậy (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{2}$
Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là $m = \sqrt 2  + \sqrt[4]{8}$

4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Nếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có thể lựa chọn phương pháp hàm số để giải. Cụ thể:

Bài toán 3:

Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình:
f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Chúng ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số
    (C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).
Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)
Tìm miền xác định D.
Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0
Bước 3: Kết luận:
Phương trình có nghiệm: $ \Leftrightarrow {\min _{x \in D}}f(x,m) \leqslant g(m) \leqslant {\max _{x \in D}}f(x,m)$
Phương trình có k nghiệm phân biệt: $ \Leftrightarrow (d)$cắt (C ) tại điểm k phân biệt
Phương trình vô nghiệm : $ \Leftrightarrow (d) \cap (C) = \varphi $

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình :
$\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1}  = m$                  (1)  có nghiệm.
Giải:
Xét hàm số y = f(x) = $\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \sqrt {{x^2} - x + 1} $
Miền xác định: D1= R
Đạo hàm:
$y' = \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}$
$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x + 1} }} - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }} = 0$
$ \Leftrightarrow (2x - 1)\sqrt {{x^2} + x + 1}  = (2x + 1)\sqrt {{x^2} - x + 1} $
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2x - 1)(2x + 1) > 0} \\
  {{{(2x - 1)}^2}({x^2} + x + 1) = {{(2x + 1)}^2}({x^2} - x + 1)}
\end{array}} \right.$   (vn)
Mặc khác y’ (0)$ \Rightarrow $ y’>0 $\forall $x nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } $ $\frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt {{x^2} + x + 1} }} = 1$
Từ đó ta có bảng biến thiên và rút ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1

Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán sau:

Bài toán 4:
Sử dụng phương pháp đồ thị giải  phương trình :
                   f(x, m) = g(m)             (1)
Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {y = f(x,m)} \\
  {y = g(x,m)}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {({C_1})} \\
  {({C_2})}
\end{array}$
Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được kết luận về nghiệm của phương trình.

Lưu ý: Thông thường nếu (C1) là phương trình đường thẳng thì (C1) có thể là phương trình đường tròn, Elíp, Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2¬) đều là phương trình đường tròn).

Ví dụ 2:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  $\sqrt {1 - {x^2}}  = x - m$
Giải:
Đặt $y = \sqrt {1 - {x^2}} $, điều kiện y$ \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ :
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{x^2} + {y^2} = 1} \\
  {x - y} \\
  {y \geqslant 0}
\end{array} = m} \right.$   $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)} \\
  {}
\end{array}$
Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C) có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {O(0,0)} \\
  {R = 1}
\end{array}} \right.$
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:
    * A(1,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m = 1$ & B(-1,0) $ \in $(d) $ \Leftrightarrow $m=-1
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )
    $ \Leftrightarrow d(O,(d) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - \sqrt 2 } \\
  {m = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
    - Với $m <  - \sqrt 2 $hoặc m > 1 thì (C )$ \cap (d) = \varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm
    - Với $m =  - \sqrt 2 $ hoặc -1< m < 1 thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất.
    - Với $ - \sqrt 2  < m \leqslant  - 1$ thì (C ) $ \cap (d) = \left\{ {A,B} \right\}$ $ \Leftrightarrow (1)$có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường tròn (C ) có tâm I$ \ne $O

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và biến đổi tương đương, như sau:
Phương pháp lượng giác hóa
    Đặt x = sin  với $\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    Cost = sint-m$ \Leftrightarrow $sint-cost = m
    $ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{{4)}} = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$              (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{3\pi }}{4} \leqslant t - \frac{\pi }{4} \leqslant \frac{\pi }{4}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng ($\Delta ):y = \frac{m}{{\sqrt 2 }}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 3:
Biện luận theo số nghiệm của phương trình $\sqrt {12 - 3{x^2}} $= $x - m$              (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {12 - 3{x^2}} $, điều kiện $y \geqslant 0$
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$  $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$  (với y$ \geqslant 0$)
Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc O
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:
    * A (2,0) $ \in $ (d)$ \Leftrightarrow m = 2$ & B(-2,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow m =  - 2$
    * (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2 = C2)
    $ \Rightarrow 1.4 - {( - 1)^2}.12 = {m^2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m =  - 4} \\
  {m = 4}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {} \\
  {(1)}
\end{array}$
Vậy:
- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) $ \cap $(d) $ $=$\varphi  \Leftrightarrow (1)$ vô nghiệm.
- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ A \right\} \Leftrightarrow (1)$có nghiệm duy nhất
- Với -4 < m $ \leqslant $ -2 thì (E) $ \cap $(d) = $\left\{ {A,B} \right\} \Leftrightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Chú ý:
 Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E) có tâm I$ \ne O$.

Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương pháp biến đổi tương đương như sau:
Phương pháp lượng giác hóa:
Đặt x = 2sint với $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$
Khi đó phương trình có dạng:
    $2\sqrt 3 $ cost = 2sint - m$ \Leftrightarrow $2sint - 2$\sqrt 3 $cost = m
$ \Leftrightarrow \sin (t - \frac{\pi }{3}) = \frac{m}{4}$         (4)
Vì $ - \frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{{5\pi }}{6} \leqslant t - \frac{\pi }{3} \leqslant \frac{\pi }{6}$, từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y =$\frac{m}{4}$ với cung tròn AB.

Ví dụ 4:
Biện luận theo m số nghiệp của phương trình  $\sqrt {{x^2} - 9}  = x - m$    (1)
Giải:
Đặt $y = \sqrt {{x^2} - 3} $, điều kiện y $ \geqslant $ 0
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1} \\
  {x - y = m}
\end{array}} \right.$ $\begin{array}{*{20}{l}}
  {(2)} \\
  {(3)}
\end{array}$   (Với y $ \geqslant $ 0)
Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.
Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là:
•    A (3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = 3
•    B (-3,0) $ \in $ (d) $ \Leftrightarrow $m = -3
Vậy:
- Với -3 < m $ \leqslant 0$ hoặc m > 3 thì (H)$ \cap $(d) = $\varphi $ $ \Leftrightarrow (1)$vô nghiệm.
- Với m$ \leqslant $-3 hoặc 0$ \leqslant m \leqslant 3$ thì (H) $ \cap $(d) =$\left\{ A \right\}$ $ \Leftrightarrow $ $(1)$ có nghiệm duy nhất
Chú ý:
Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol (H) có tâm I$ \ne $O

Ví dụ 5:
Giải và biện luận phương trình: $\sqrt {{x^2} - 1}  = (2m + 1)x + {m^2} + m + 1$   với x$ \geqslant $ -m
Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
    ${x^2} - 1 + \sqrt {{x^2} - 1}  = {(x + m)^2} + x + m$
Xét hàm số f(t) = t2 + t với  t $ \geqslant 0$ là hàm đồng biến
Khi đó:
    (2) $ \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {{x^2} - 1} } \right) = f(x + m) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  = x + m$
Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.

5. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
Bài toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.
Phương pháp:
Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm điều kiện tham số để.
1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.
2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác.
Khi đó ta thực hiện theo các bước.
Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa.
Bước 2:  Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ năng cơ bản.

Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:
    $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = m$                     (1)
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm là x = x0  $ \Rightarrow $2- x0 cũng là nghiệm của (1)
Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1
Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:
Với m = 4, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} + \sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 4$                      (2)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được:
    $\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  \leqslant 2$ & $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} \leqslant 2$
Do đó:
    (2) $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\sqrt x  + \sqrt {2 - x}  = 2} \\
  {\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{2 - x}} = 2}
\end{array}} \right.$
    $ \Leftrightarrow $x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2:
Cho 2 phương trình:
    $(x + 5)(2 - x) = 3m\sqrt {{x^2} + 3x + m - 1} $
    ${x^4} + {6^3} + 9{x^2} - 16 = 0$
Tìm m để (1) và (2) tương đương
Giải:
${({x^2} + 3x)^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 4)({x^2} + 3x + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.$
Điều kiện cần:
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:
$(1) \Leftrightarrow 6 = 3m\sqrt {m + 3}  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {4 = {m^2}(m + 3)}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {{m^3} + 3{m^2} - 4 = 0}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {m > 0} \\
  {(m - 1)({m^2} + 4m + 4) = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.$
Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.
Điều kiện đủ
Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
    $ - {x^2} - 3x + 10 = 3\sqrt {{x^2} + 3x} $                        (3)
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 3x} $, điều kiện $t \geqslant 0$
Khi đó:
    (3) $ \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {t =  - 5} \\
  {t = 2}
\end{array}\begin{array}{*{20}{l}}
  {(1)} \\
  {}
\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {x = 1} \\
  {x =  - 4}
\end{array}} \right.} \right.$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.
Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 3:
Cho phương trình và bất phương trình:
    $\sqrt {x - 1 + 2m\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2m\sqrt {x - 2} }  = 2$                          (1)
    $\left| {{x^2} + 3x + 2} \right| \leqslant {x^2} + 2x + 5$
Tìm m để (1) và (2) tương đương                                             (2)
Giải:

Điều kiện cần
Giả sử (1) và (2) tương đương $ \Rightarrow $x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:
 (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {2 + 2m}  + \sqrt {2 - 2m}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {4 - 4{m^2}}  = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1$
Vậy m = $ \pm $1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:
Điều kiện đủ:   Với m = 1, khi đó (1) có dạng:
$\sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 2} }  + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} }  = 2 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = 2$ $ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  + 1} \right| + \left| {1 - \sqrt {x - 2} } \right| = \left| {\left( {\sqrt {x - 2}  + 1} \right) + \left( {1 - \sqrt {x - 2} } \right)} \right|$
$ \Leftrightarrow (\sqrt {x - 2}  + 1)(1 - \sqrt {x - 2)}  \geqslant 0 \Leftrightarrow 1 - (x - 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 3$
Tức là (1) và (2) tương đương.
Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình).
* Vậy với m = $ \pm $ 1 thì (1) và (2) tương đương.
 

Thẻ

× 179
× 153

Lượt xem

 42060
Bài 106644
Bài 100637
Bài 101502
Bài 102571
Bài 102576
Chat chit và chém gió
  • hoangsonhoanghop: anh en 2/2/2021 9:52:18 PM
  • tranhoangha1460: alo 2/4/2021 9:42:21 AM
  • tranhoangha1460: chào các cháu 2/4/2021 9:42:24 AM
  • tranhoangha1460: chú rất thích lồn chim cu bím mong các cháu gửi ảnh 2/4/2021 9:43:20 AM
  • lehuong01032009: hi 2/20/2021 10:10:22 AM
  • chuyentt123456: hi 2/28/2021 9:20:49 PM
  • ngamyhacam242: hi 3/12/2021 3:28:49 PM
  • ltct1512: hê lô 3/13/2021 9:25:49 PM
  • duolingo: 7nwinking 3/23/2021 7:46:22 PM
  • duolingo: no_talking 3/23/2021 7:46:51 PM
  • duolingo: u 3/23/2021 7:46:57 PM
  • duolingo: y 3/23/2021 7:47:13 PM
  • duolingo: j 3/23/2021 7:47:19 PM
  • duolingo: n 3/23/2021 7:47:27 PM
  • duolingo: v 3/23/2021 7:47:37 PM
  • duolingo: n 3/23/2021 7:47:44 PM
  • duolingo: njjhh 3/23/2021 7:47:50 PM
  • duolingo: iggg 3/23/2021 7:48:02 PM
  • thptkk: cc 3/24/2021 11:02:09 PM
  • thptkk: ai hoc lop 10 ha noi ko 3/24/2021 11:02:35 PM
  • luutronghieu2005: Hí ae 5/12/2021 9:38:20 AM
  • myanhth.vnuong: hế lô 5/30/2021 8:20:13 AM
  • myanhth.vnuong: wave 5/30/2021 8:26:44 AM
  • danh2212005: hi 6/6/2021 11:29:08 PM
  • danh2212005: lâu ae chưa nhắn j hết à 6/6/2021 11:34:33 PM
  • doankhacphong: đang nghỉ dịch 6/16/2021 10:14:12 PM
  • doankhacphong: hello.. 6/16/2021 10:14:31 PM
  • vutienmanhthuongdinh21: whew 6/18/2021 8:08:22 AM
  • thaole240407: kiss hí 6/24/2021 9:23:30 PM
  • thaole240407: . 6/24/2021 9:27:39 PM
  • thaole240407: . 6/24/2021 9:27:45 PM
  • lanntp.c3cd: mọi nguoi oi, cho mìn hỏi sao ko sao chép bài giả về được nhỉ? 7/3/2021 9:11:17 AM
  • lanntp.c3cd: ko coppy bài giải về đuwọc? 7/3/2021 9:11:42 AM
  • Phương ^.^: 2 mn 7/21/2021 8:47:14 AM
  • tanghung05nt: solo ys ko mấy thag loz 8/1/2021 10:36:45 AM
  • longlagiadinh: kkkkk 8/6/2021 7:59:48 AM
  • longlagiadinh: rolling_on_the_floor 8/6/2021 8:15:19 AM
  • longlagiadinh: not_worthy 8/6/2021 8:15:43 AM
  • lynh7265: mồm xinh mồm xinh 8/24/2021 1:33:10 PM
  • lynh7265: angel 8/24/2021 1:33:31 PM
  • anhmisa448: lô mn. tui là ng mới 9/15/2021 8:12:18 AM
  • anhmisa448: có ai ko? 9/15/2021 8:13:06 AM
  • truonguyennhik6: Hi 9/27/2021 8:58:47 PM
  • truonguyennhik6: Hi 9/27/2021 8:58:50 PM
  • truonguyennhik6: Ai acp fb tui đi 9/27/2021 8:59:21 PM
  • truonguyennhik6: https://www.facebook.com/profile.php?id=100061932980491 9/27/2021 9:04:42 PM
  • daothithomthoi: Giúp mình bài này với. Lớp 10 nhé😘😘 10/23/2021 5:06:43 AM
  • thanhthuy1234emezi: bài này ns là hình bên mà ko thấy hình là như nào ạ 10/27/2021 8:37:30 PM
  • phong07032006: alo 11/1/2021 7:35:33 PM
  • phong07032006: page sập rồi à 11/1/2021 7:35:41 PM
  • phong07032006: alo 11/1/2021 7:35:46 PM
  • Dương Hoàng Phươn: alo 11/9/2021 4:34:43 PM
  • Dương Hoàng Phươn: Hê nhô 11/9/2021 4:34:48 PM
  • pdc998800: :0 11/17/2021 9:13:50 PM
  • khoicorn2005: alo alo 11/19/2021 3:47:57 PM
  • huanhutbang: he lỏ???;>> 11/20/2021 5:42:16 AM
  • dongtonam176: hi 12/5/2021 4:40:17 PM
  • khoicorn2005: page giờ buồn quá 12/10/2021 3:05:25 PM
  • khoicorn2005: hello 12/10/2021 3:06:20 PM
  • xuannqsr: Hi 12/13/2021 1:49:06 PM
  • xuannqsr: Mình mới vào ạ 12/13/2021 1:49:16 PM
  • xuannqsr: Ai vô google baassm chữ lazi.vn đi 12/13/2021 1:49:39 PM
  • xuannqsr: chỗ đó vui hơn 12/13/2021 1:49:44 PM
  • xuannqsr: cũng học luôn á 12/13/2021 1:49:48 PM
  • xuannqsr: có thể chattt 12/13/2021 1:49:53 PM
  • xuannqsr: kết bạn đc lunnn 12/13/2021 1:50:01 PM
  • xuannqsr: Còn ai hok dạ 12/13/2021 1:51:27 PM
  • phatdinh: hi mn 3/21/2022 8:31:29 PM
  • phatdinh: yawn 3/21/2022 8:32:26 PM
  • phannhatanh53: hi 3/22/2022 10:25:48 PM
  • khoicorn2005: hellooooooo 3/27/2022 3:27:06 PM
  • khoicorn2005: love_struck 3/27/2022 3:27:38 PM
  • aiy78834: 2 3/31/2022 11:12:21 PM
  • aiy78834: big_hug 3/31/2022 11:12:33 PM
  • dt915702: hiii 4/2/2022 8:37:09 PM
  • dt915702: hmmmm 4/2/2022 8:37:14 PM
  • ngocmai220653: aloalo 7/13/2022 3:29:06 PM
  • ngocmai220653: lololo 7/13/2022 3:29:26 PM
  • ngocmai220653: soooooooooooooooooooooooooooooos 7/13/2022 3:29:37 PM
  • ngocmai220653: ---...--- ---...--- 7/13/2022 3:29:55 PM
  • ngocmai220653: ét o ét 7/13/2022 3:30:02 PM
  • kimchuc2006i: lí 11 8/23/2022 9:28:58 PM
  • kimchuc2006i: tìm tài lieuj hoc lí lớp 11 ở đâu vậy mọi người 8/23/2022 9:29:38 PM
  • Ngothikhuyen886: moị người ơi 11/1/2022 9:40:44 PM
  • Ngothikhuyen886: giúp mik đc khum 11/1/2022 9:40:55 PM
  • Ngothikhuyen886: cho đoạn mạch như hình vẽ, dây nối A kể có điện trở k đáng kể, V rất lớn, 2 đầu đoạn mạch nối với hiệu điện thế U=2V / a, chỉnh biến trở để vôn kế chỉ 4A . Khi đó cường độ dòng điện qua A kế 5A. Tính điện trở của biến trở khi đó ? / b,phải chỉnh biến trở có điện trở bao nhiêu để có A chỉ 3A? 11/1/2022 9:41:58 PM
  • Ngothikhuyen886: đây ạ 11/1/2022 9:42:03 PM
  • Ngothikhuyen886: giúp mik với 11/1/2022 9:42:09 PM
  • Ngothikhuyen886: lớp 9 11/1/2022 9:42:11 PM
  • Ngothikhuyen886: straight_face 11/1/2022 9:44:19 PM
  • truongthithanhnhan99: hí ae 11/10/2022 7:32:16 AM
  • vanhieu21061979: hello 11/14/2022 7:58:01 PM
  • vanhieu21061979: anh em ơi 11/14/2022 7:58:18 PM
  • loll: giúp em sẽ gầy vsrolling_on_the_floor 11/23/2022 2:58:58 PM
  • loll: onichan 11/23/2022 3:00:55 PM
  • loll: yamatebroken_heart 11/23/2022 3:01:26 PM
  • loll: =00 11/23/2022 3:01:32 PM
  • loll: rolling_on_the_floor 11/23/2022 3:01:35 PM
  • Hiusegay: Hê lô kitty 11/23/2022 8:46:07 PM
  • kimyoungran227: chicken 1/25/2023 8:14:22 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • nguyenphuc423
  • Xusint
  • Long Nd
  • tiendat.tran.79
  • vansang.nguyen96
  • nhutuyet12t7.1995
  • taquochung.hus
  • builananh1998
  • badingood_97
  • nokia1402
  • HọcTạiNhà
  • happy_story_1997
  • matanh_31121994
  • hnguyentien
  • iloveu_physics_casino_fc_1999
  • an123456789tt
  • ntdragon9xhn
  • huongtrau_buffalow
  • ekira9x
  • chaicolovenobita
  • ngocanh7074
  • stubborngirl_99
  • quanvu456
  • moonnguyen2304
  • danganhtienbk55
  • thai.tne1968
  • chemgioboy5
  • hung15101997
  • huyentrang2828
  • minhnhatvo97
  • anhthong.1996
  • congchuatuyet_1310
  • gacon7771
  • kimberly.hrum
  • dienhoakhoinguyen
  • Gió!
  • m_internet001
  • my96thaibinh
  • tamnqn
  • phungthoiphong1999
  • dunglydtnt
  • thaoujbo11
  • viethungcamhung
  • smix84
  • smartboy_love_cutegirl
  • minhthanhit.com
  • hiephiep008
  • congthanglun4
  • smallhouse253
  • eragon291995
  • anhdai036
  • parkji99999
  • bồ công anh
  • qldd2014
  • nguyentham2107
  • minhdungnguyenle
  • soosu_98
  • pykunlt
  • nassytt
  • Ngâu
  • tart
  • huynhhthanhtu007
  • a2no144
  • nguyenvantoan140dinhdong
  • anh.sao.bang199x
  • tinhoccoso3a.2013
  • vuongthiquynhhuong
  • duey374
  • 9aqtkx
  • thanhhuong832003
  • geotherick
  • gaksital619
  • phuonghong0311
  • bjn249x
  • moc180596
  • canthuylinh
  • langvohue1234
  • tamcan152
  • kieule12345
  • hoangxu_mk
  • abcdw86
  • sand_wildflowers
  • phuongnganle2812
  • huyhieu10.11.1999
  • o0osuper13junioro0o
  • jackcoleman50
  • hjjj1602
  • darkhuyminh
  • klinh1999hn
  • toiyeuvietnam20012000
  • lechung20010
  • bestfriendloveminwoo
  • phamstars1203
  • vietthanhle93
  • vuminhtrung2302
  • duchuy828
  • nguyendinhtiendat1999
  • thiphuong0289
  • tiennguyen19101998
  • trongpro_75
  • Moon
  • nguyenduongnhuquynh
  • lamthanhhien18
  • nguyenthithanhhuyen1049
  • baobinhsl99
  • p3kupahm1310
  • colianna123456789
  • allmyloving97
  • william.david.kimgsley
  • Huỳnh Nguyễn Ngọc Lam
  • huynhthanhthao.98dn
  • zts.love
  • trinhngochuyen97
  • phwongtran
  • Yenmy_836
  • Dark
  • lequangdan1997
  • trantrungtho296
  • daxanh.bolide
  • kieuphuongthao252
  • Binsaito
  • lenam150920012807
  • Thỏ Kitty
  • kiwinguyn
  • kimbum_caoco
  • tieuyen
  • anhvu162015
  • nhattrieuvo
  • dangminh200320
  • ankhanh19052002
  • Raini0101
  • doimutrangdangyeu
  • SPKT
  • huong-huong
  • olala
  • thuylinhnguyenthi25
  • phuongthao2662000
  • Katherinehangnguyen
  • noivoi_visaothe
  • nguyenhoa2ctyd
  • boyphuly00
  • Cycycycy2000
  • Kibangha1999
  • myha03032000
  • ruachan123
  • ◄Mαnµcïαn►
  • aasdfghjklz2000
  • lhngan16
  • hunghunghang99
  • xunubaobinh2
  • nguyenhoa7071999
  • trantruc45
  • tuyetnhi.tran19
  • Phuonglan102000
  • phamtra2000
  • 15142239
  • thaodinh
  • taongoclinh19992000
  • chuhien9779
  • accluutru002
  • tranthunga494
  • pokemon2050theki
  • nguyenlinh2102000
  • nguyenduclap0229
  • duonglanphuong3
  • minnsoshii
  • Confusion
  • vanhuydk
  • vetmonhon
  • conmuangangqua05
  • huongly22092000
  • doanthithanhnhan2099
  • nguyen.song
  • anhtuanphysics
  • Thủy Tiên
  • Hàn Thiên Dii
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • tungduongqk
  • duongtan287
  • Shadaw Night
  • lovesomebody121
  • nguyenly.1915
  • Hoa Pun
  • Ánh Royal
  • ☼SunShine❤️
  • uyensky1908
  • thuhuongycbg228
  • holong110720
  • chauhp2412
  • luuvinh083
  • woodygxpham
  • huynhhohai
  • hoanglichvlmt
  • dungnguyen
  • ♪♪♪_๖ۣۜThanh♥๖ۣۜTùng_♪♪♪
  • Duong Van
  • languegework
  • Lê Huỳnh Cẩm Tú
  • ❄⊰๖ۣۜNgốc๖ۣۜ ⊱ ❄
  • edogawaconan7t
  • nguyenminhthu
  • Quốc Anh
  • DaP8
  • Vanus
  • Kim Thưởng
  • huongly987654321
  • dinhthimailan2000
  • shennongnguyen
  • khiemhtpy
  • rubingok02
  • Dưa Leo
  • duongngadp0314
  • Hoàng Lê
  • Half Heart
  • vananh2823
  • dotindat
  • hng009676
  • solider76 :3
  • quannguyenthd2
  • supersaiyan2506
  • huyhoangnguyen094
  • Tiểu Nhị Lang
  • truongduc312
  • bac1024578
  • Siuway190701
  • hinyd1003
  • holutu6
  • thuydung0200
  • nhu55baby.com
  • Thaolinhvu2k
  • abcxyaa
  • boyvip5454
  • nguyenthiminhtuong9a5
  • maita
  • thanhhient.215
  • hangha696
  • lmhthuyen
  • trangnguynphan
  • On Call
  • myolavander
  • minhnguyetquang0725
  • vitconxauxi1977
  • dominhhao10
  • nguyentuyen3620
  • tuonglamnk123
  • viconan01
  • aithuonghuy
  • Thanhtambn154
  • loc09051994
  • sathu5xx
  • trgiang071098
  • boy_kute_datrang
  • hoangthanhnam10
  • sonptts
  • lazybear13032000
  • nhanthangza
  • phamthuyquynh092001
  • zzzquangzzzthuzzz
  • duykien1120
  • Hardworkingmakeresults
  • lviet04
  • lemy16552
  • nlegolas111
  • hunganhqn123
  • Trantanphuc194
  • Đức Vỹ
  • maithidao533
  • nguyenbaoquynh.321
  • vananh.va388
  • quynhnguyen1352001
  • datphungvodoi
  • phamvy1234yh
  • phuonghong2072002
  • phucma1901.pm
  • nguyenhongvanhang
  • caodz2kpro
  • thanhlnhv
  • nguyetngudot
  • bhnmkqn2002
  • Phù thủy nhỏ
  • ngongan24122002
  • nhathung
  • Nhudiem369
  • vohonhanh
  • thienhuong26112002
  • Nquy1609
  • edotensei2002
  • phuongnamc3giarai
  • dtlengocbaotran
  • khanhhung4869
  • baanhle35
  • ngnhuquynh123
  • lingggngoc
  • phuocnhan992000
  • Minh Đoàn
  • vutthuylinh
  • Tuấn2k2
  • ngocchivatly0207
  • ndhfreljord
  • duyenngo0489
  • nguyen_ngan06122002
  • nguyennamphi39
  • ngatngat131
  • Nguyentrieu2233
  • snguyenhoang668
  • sangvu0504
  • ldtl2003
  • thaongan22091994
  • Ngocthuy060702
  • quyhuyen0401
  • lan27052003
  • maiuyen1823
  • laitridung2004
  • mehuyen09666
  • tranvantung13
  • truongdanthanh7
  • kimuyen243
  • linhlinh10082002
  • Anhhwiable
  • Cuongquang602
  • nickyfury0711
  • thaithuhanglhp77
  • nguyenbaloc919
  • congvanvu00
  • ngohongtrang186
  • nkd11356
  • dangminhnhut27032005
  • pn285376