A. LÝ THUYẾT
Khi tính tích phân của một hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối, ta làm như sau:
1. Xét dấu của hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối trong đoạn chứa hai cận.
2. Khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số trên từng đoạn.
3. Áp dụng tính chất :
b∫af(x)dx=c∫af(x)dx+b∫cf(x)dx(a<c<b)
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính I=2∫0|1−x|dx
Lời giải:
Lập bảng xét dấu cho hàm số |1−x| trên đoạn [0,2] với chú ý 1−x=0⇔x=1, ta có :
x0121−x+0−
Do đó :
I=1∫0|1−x|dx+2∫1|1−x|dx=1∫0(1−x)dx+2∫1(x−1)dx
=(x−x22)|10+(x22−x)|21=12+12=1
Ví dụ 2. Tính I=2∫0|x2−x|dx
Lời giải:
Lập bảng xét dấu cho hàm số |x2−x| trên đoạn [0,2] với chú ý x2−x=0⇔[x=0x=1, ta có :
x012x2−x0−0+
Do đó :
I=1∫0|x2−x|dx+2∫1|x2−x|dx=1∫0(x−x2)dx+2∫1(x2−x)dx
=(x22−x33)|10+(x33−x22)|21=16+56=1
Ví dụ 3. Tính I=4∫−2|x2−4x+3|dx
Lời giải:
Lập
bảng xét dấu cho hàm số |x2−4x+3| trên đoạn [−2,4] với chú ý
x2−4x+3=0⇔[x=1x=3, ta có :
x−2134x2−4x+3+0−0+
Do đó :
I=1∫−2|x2−4x+3|dx+3∫1|x2−4x+3|dx+4∫3|x2−4x+3|dx=1∫−2(x2−4x+3)dx−3∫1(x2−4x+3)dx+4∫3(x2−4x+3)dx
=(x33−2x2+3x)|1−2−(x33−2x2+3x)|31+(x33−2x2+3x)|43=83+503+43=623
Ví dụ 4. Tính I=3∫0|x2−3x+2|x+1dx
Lời giải:
Lập
bảng xét dấu cho hàm số |x2−3x+2|x+1 trên đoạn [0,3] với chú ý
x2−3x+2=0⇔[x=1x=2 và x+1>0 , ta có :
x0123x2−3x+2+0−0+
Do đó :
I=1∫0|x2−3x+2|x+1dx+2∫1|x2−3x+2|x+1dx+3∫2|x2−3x+2|x+1dx=1∫0x2−3x+2x+1dx−2∫1x2−3x+2x+1dx+3∫2x2−3x+2x+1dx
=1∫0(x−4+6x+1)dx−2∫1(x−4+6x+1)dx+3∫2(x−4+6x+1)dx
=(x22−4x+6ln|x+1|)|10−(x22−4x+6ln|x+1|)|21+(x22−4x+6ln|x+1|)|32=24ln2−12ln3−52
Ví dụ 5. Tính I=4∫0√x3−2x2+xdx
Lời giải:
Ta có :
I=4∫0√x3−2x2+xdx=4∫0√x(x−1)2dx=4∫0|x−1|√xdx
=1∫0|x−1|√xdx+4∫1|x−1|√xdx=−4∫0(x−1)√xdx+4∫1(x−1)√xdx
=−4∫0(x32−x12)dx+4∫1(x32−x12)dx
=−(25x52−23x32)|10+(25x52−23x32)|41=8.
Ví dụ 6. Tính I=2π∫0√1−cos2xdx
Lời giải:
Ta có :
I=2π∫0√2sin2xdx=√22π∫0|sinx|dx
Giải phương trình sinx=0⇔x=kπ⇒ có nghiệm x=π∈[0,2π]
Do đó :
I=√2π∫0|sinx|dx+√22π∫π|sinx|dx=√2π∫0sinxdx−√22π∫πsinxdx
=√2(−cosx)|π0−√2(−cosx)|2ππ=4√2.
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.
Tính 3∫−3|x2−1|dx
Đáp số : I=443
Bài 2.
Tính √3∫0|x2−1|x2+1dx
Đáp số : I=√3−2+π3
Bài 3.
Tính 3∫0|2x−4|
Đáp số : I=4+1ln2
Bài 4.
Tính 3∫−2|x3−2x2−x+2|dx
Đáp số : I=13312
Bài 5.
Tính I=2π∫0√1+cosxdx
Đáp số : I=4√2
|