A. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
* logaf(x)=logag(x)⇔{f(x),g(x)>0f(x)=g(x)
* logaf(x)=b⇔f(x)=ab
* logf(x)g(x)=b⇔{0<f(x)≠1g(x)=f(x)b
* logaf(x)≥logag(x)(1)
+ Nếu a>1 thì PT (1)⇔{f(x)>g(x)g(x)>0
+ Nếu 0<a<1 thì PT (1)⇔{f(x)<g(x)f(x)>0
Chú ý rằng logaf(x) có nghĩa ⇔{f(x)>00<a≠1
* logf(x)g(x)>0⇔[{0<f(x)<10<g(x)<1{f(x)>1g(x)>1
* logf(x)g(x)<0⇔[{0<f(x)<1g(x)>1{f(x)>10<g(x)<1
B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Ví dụ 1. Giải phương trinh
log3[1+log3(2x−7)]=1
Lời giải :
PT đã cho ⇔1+log3(2x−7)=3⇔log3(2x−7)=2⇔2x−7=9⇔2x=16⇔x=4.
Ví dụ 2. Giải phương trinh
log2x+log3x+log4x=log20x
Lời giải :
Dùng công thức đổi cơ số, ta được log2x+log2xlog32+log2xlog42=log2xlog202
⇔(1+log32+log42−log202).log2x=0
Kiểm tra rằng : 1+log32+log42−log202≠0, do đó :
PT ⇔log2x=0⇔x=1 (thỏa mãn).
Vậy PT có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 3. Giải phương trình logx+3(3−√x2−2x+1)=12(1)
Lời giải:
PT
(1)⇔{0<x+3≠13−√x2−2x+1=√x+3⇔{−3<x≠−23−|x−1|=√x+3(2)
* Nếu x=1 thì hệ (2)⇔{−3<x≠−24−x=√x+3⇔{−3<x≠−2x≤4(4−x)2=x+3⇔{−3<x≤4;x≠−2x2−9x+13=0.
Giải hệ này tìm được x=9−√292.
*
Nếu x<1 thì hệ (2)⇔{−3<x≠−22+x=√x+3⇔{−3<x≠−2x≥−2(2+x)2=x+3⇔{x>−2x2+3x+1=0.
Giải hệ này tìm được x=−3+√52.
Vậy PT có hai nghiệm x=9−√292 và x=−3+√52.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình logx2(4x−5|x−2|)≥12(1)
Lời giải :
Điều kiện :
{0<x2≠14x−5|x−2|>0⇔{x>54x≠2
PT
(1)⇔{x>54;x≠2logx2(4x−5|x−2|)≥logx2x⇔{x>54;x≠24x−5|x−2|≥x⇔{x>54;x≠24x−5≥x|x−2|
⇔[{x>24x−5≥x(x−2){54<x<24x−5≥−x(x−2)⇔[{x>2x2−6x+5≤0{54<x<2x2+2x−5≥0
⇔[2<x≤5√6−1≤x<2⇔x∈(2;5]∪[√6−1;2).
Vậy tập nghiệm của BPT là S=(2;5]∪[√6−1;2).
Ví dụ 5. Giải phương trình
log4(x+1)2+2=log√2√4−x+log8(x+4)3
Lời giải :
Điều kiện: {−4<x<4x≠−1
Với điều kiện trên PT tương đương với
log2|x+1|+2=log2(4−x)+log2(x+4)
⇔log2|x+1|.4=log2(16−x2)
⇔|x+1|.4=16−x2(1)
Nếu
−1≤x<4 thì (1)⇔x2+4x−12=0⇔[x=2x=−6. Kết hợp điều
kiện ta được x=2.
Nếu −4≤x<−1 thì (2)⇔x2−4x−20=0⇔[x=2+2√6x=2−2√6. Kết hợp điều
kiện ta được x=2−2√6.
Vậy PT đã cho có hai nghiệm x=2 và x=2−2√6.
Bài tập tương tự
1. Giải phương trình : log3(2x+1)−log13(3−x)=0
Đáp số : x=5±√414.
2. Giải phương trình : log5(4x+144)−4log52<1+log5(2x−2+1)
Đáp số : 2<x<4.
3. Giải bất phương trình xlog15(x2+x+1)>0
Đáp số : x<−1.
II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
log23x+√log23x+1−5=0
Lời giải :
Điều kiện x>0. Đặt t=√log23x+1,t≥1.
Pt trở thành t2+t−6=0⇔t=2(t≥1).
Với
t=2⇒√log23x+1=2⇔log32x=3⇔[log3x=√3log3x=−√3⇔[x=3√3x=3−√3, thỏa mãn điều kiện.
Vậy PT có hai nghiệm x=3√3 và x=3−√3.
Ví dụ 2. Giải phương trình
log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4
Lời giải :
Phhương trình ⇔log2x−1[(2x−1)(x+1)]+logx+1(2x−1)2=4(1)
Điều kiện {0<x+1≠10<2x−1≠1⇔12<x≠0(∗)
Với điều kiện (∗), PT (1)⇔log2x−1(x−1)+2logx+1(2x−1)−3=0
Đặt t=log2x−1(x−1), do điều kiện (∗) nên t≠0.
PT
trở thành t+2t−3=0⇔t2−3t+2=0⇔[t=1t=2
Với t=1 thì log2x−1(x−1)=1⇔x+1=2x−1⇔x=2 (thỏa mãn).
Với
t=2 thì log2x−1(x−1)=2⇔x+1=(2x−1)2⇔4x2−5x=0⇔[x=0x=54⇒x=54.
Vậy PT có hai nghiệm x=2 và x=54.
Ví dụ 3. Giải phương trình
log42(x)−log212(x38)+9log2(32x2)<4log212(x)
Lời giải :
Điều kiện x>0.
BPT
trên ⇔log42(x)−log22−1(x38)+9log2(32x2)<4log22−1(x)
⇔log42(x)−[log2x3−log28]2+9[log232−log2x2]<4log22(x)
⇔log42(x)−[log2x3−3]2+9[5−log2x2]<4log22(x)
⇔log42(x)−[3log2x−3]2+9[5−2log2x]<4log22(x)
Đặt t=log2x, BPT trên tương đương với
t4−13t2+36<0⇔4<t2<9⇔[−3<t<−22<t<3⇔[−3<log2x<−22<log2x<3⇔[18<x<144<x<8
Vậy BPT có nghiệm (18,14)∪(4,8).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
6log22x+4log2x2>3
Lời giải :
Điều kiện : x>0.
BPT ⇔6log2x+1+42log2x>3
Đặt t=log2x,t≠0.
BPT
⇔6t+1+2t>3⇔−3t2+5t+2t(1+t)>0⇔(3t+1)(t−2)t(t+1)<0
Lập bảng xét dấu ta có :
[−1<t<−130<t<2⇔[−1<log2x<−130<log2x<2⇔[12<x<13√21<x<4
Vậy BPT có nghiệm (12,13√2)∪(1,4).
Bài tập tương tự
1. Giải bất phương trình : log3(3x−1).log13(3x+2−9)>−3
Hướng dẫn : Đặt t=log3(3x−1). PT ⇔t2+2t−3<0⇔log32827<x<log34.
2. Giải bất phương trình : logx2x≤√logx(2x3)
Hướng dẫn: Điều kiện x≠1,x>0. Đặt t=logx2.
PT
⇔t+1≤√t+3⇔[{t+1<0t+3≥0{t+1≥0(t+1)2≤t+3⇔[−3≤t<−1−1≤t≤1
Thay trở lại về x ta thu được đáp số : x∈(0,13√2]∪[2,+∞).
3. Giải phương trình logx2x2−14log16xx3+40log4x√x=0
Hướng dẫn: Điều kiện x≠14,x≠116,x≠2,x>0. Đặt t=logx2.
PT
⇔21−t−421+4t+201+3t=0⇔[t=12t=−2⇔[x=1√2x=4.
III. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1. Giải phương trình 3x=3−log5x.
Lời giải :
Dễ thấy x=1 là nghiệm của PT.
Với x>1 thì 3x>31=3−log51>3−log5x.
Với x<1 thì 3x<31=3−log51<3−log5x.
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình log5(3+√x)>log4x
Lời giải:
Điều kiện x>0.
Đặt t=log4x⇒x=4t.
BPT ⇔log5(3+2t)>t⇔3+2t>5t⇔35t+(25)t>1
Hàm
số f(t)=35t+(25)t có f′(t)=−35t+(25)tln25<0∀t nên nó là hàm nghịch biến trên R và thấy rằng
f(1)=1.
BPT trở thành : f(t)>f(1)⇔t<1⇔log4x<1⇔0<x<4.
Ví dụ 3. Giải phương trình log3x2+x+12x2−2x+3=x2−3x+2
Lời giải:
Đặt u=x2+x+1,v=2x2−2x+3(u,v>0) suy ra v−u=x2−3x+2.
PT đã cho trở thành log3uv=v−u⇔log3u−log3v=v−u⇔log3u+u=log3v+v(1)
Xét hàm số f(t)=log3t+t, ta có f′(t)=1tln3+1>0∀t>0 nên hàm số đồng biến khi t>0.
Từ (1) ta có f(u)=f(v)⇔u=v⇔v−u=0⇔x2−3x+2=0
Vậy PT có nghiệm x=1,x=2.
Bài tập tương tự
1. Giải phương trình : log5x=log7(x+2)
Hướng dẫn :
Đặt t=log5x=log7(x+2)⇒{x=5tx+2=7t⇒{x=5t5t+2=7t.
Xét tính đơn điệu của hàm f(t)=(57)t+2.(17)t để suy ra x=5 là nghiệm duy nhất
của PT.
2. Giải bất phương trình log3x2+x+12x2−2x+3>x2−3x+2
Hướng dẫn : Làm tương tự Ví dụ 3. để có kết quả 1<x<2.
|