A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
$1.$ Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C_1)$ và hàm số $y=g(x)$ có đồ thị $(C_2)$. Xét sự tương giao của $(C_1)$ và $(C_2)$ theo các bước.
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ là $f(x)=g(x) f(x)-g(x)=0 (1)$
+ Biện luận số giao điểm của $(C_1)$ và $(C_2)$ qua nghiệm của PT $(1)$
Nếu $(1)$ vô nghiệm thì $(C_1)$ không cắt $(C_2)$
Nếu $(1)$ có nghiệm bội chẵn (dạng $(x-a)^{2n}.F(x)=0$) thì $(C_1)$ tiếp xúc với $(C_2)$
Nếu $(1)$ có $n$ nghiệm đơn thì $(C_1)$ cắt $(C_2)$ tại $n$ điểm phân biệt
$2.$ Điều kiện $(C_1)$ và$(C_2)$ tiếp xúc nhau còn có thể thể hiện thông qua sự kiện hệ phương trình sau có nghiệm
$\begin{cases}f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{cases} (2)$
HPT $(2)$ có bấy nhiêu nghiệm thì hai đồ thị tiếp xúc nhau tại bấy nhiêu điểm.
$3.$ Có ba phương pháp cơ bản để giải quyết các bài toán dạng này:
+ Phương pháp nhẩm nghiệm: Thường là nhẩm nghiệm hữu tỷ.
+ Phương pháp đồ thị : Dựa vào hình dáng đồ thị và cực trị của hàm số.
+ Phương pháp hàm số: Chuyển về bài toán tương giao mới.
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
Ví dụ $1.$ Cho hàm số $(C_m) : y = x^3 – 3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)$
Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn $1.$
Lời giải:
Phương trình biểu diễn trục hoành có dạng $y=0$ nên PT biểu diễn sự tương giao của $(C_m)$ và trục hoành là :
$ x^3 – 3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)=0$
Nhận thấy $x=2$ thỏa mãn PT này nên trước hết ta phân tích để tạo ra nhân tử $x-2$ ở vế trái của PT.
PT $\Leftrightarrow x^3 – 2x^2-(3m+1)x^2+6(3m+1)x+2m(m+1)x-4m(m+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left[ {x^2-(3m+1)x+2m(m+1)} \right]=0$
Tiếp tục phân tích với nhận xét $x=2m$ là nghiệm của PT.
PT $\Leftrightarrow (x-2)\left[ {x^2-2mx-(m+1)x+2m(m+1)} \right]=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-2m)(x-m-1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} x=2\\x=2m\\x=m+1 \end{matrix}} \right.$
Như vậy, yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{1}{2} \\m \ne 1 \end{cases}}$.
Ví dụ $2.$ (Đại học Khối $D-2006$)
Cho $(C): y=x^3-3x+2$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $A(3; 20)$ có hệ số góc $m$.
Tìm $m$ để đường thằng $d$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng, $(d): y=m(x-3)+20$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$ là
$x^3-3x+2=m(x-3)+20$
$\Leftrightarrow x^3-3x-18=m(x-3)$
$\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+6)=m(x-3)$
$\Leftrightarrow (x-3)(\underbrace{x^2+3x+6-m}_{\displaystyle g(x)})=0 (1)$
Như vậy ta cần PT $(1)$ có ba nghiệm phân biệt, tức là PT $g(x)=0$ có hai nghiệm phận biệt và khác $3$.
Viết thành $\begin{cases}\Delta_g > 0 \\ g(3) \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4m-15>0 \\ 24-m \ne 0\end{cases}\Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle\begin{cases}m>\frac{15}{4} \\ m \ne 24\end{cases}}$
Ví dụ $3.$ Cho hàm số $(C_m) : y=x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)$
Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
$ x^3-2mx^2+(2m^2-1)x+m(1-m^2)=0$
$\Leftrightarrow (x-m)\underbrace{(x^2-mx+m^2-1)}_{\displaystyle g(x)}=0$
Yêu cầu bài toán trở thành $m>0$ và PT $g(x)=0$ có hai nghiệm dương phân biệt khác $m$.
$\Leftrightarrow
\begin{cases}m>0 \\ \Delta_g
>0\\P=x_1x_2=\frac{c}{a}>0\\S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\g(m) \ne 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m>0 \\ 4-3m^2
>0\\m^2-1>0\\m>0\\m^2-1 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\boxed{\displaystyle1<m< \frac{2}{\sqrt{3}}}$.
Ví dụ $4.$ (Đại học Khối $A-2010$)
Cho hàm số $(C_m) : y=x^3-2x^2+(1-m)x+m$
Tìm
$m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,
x_2, x_3$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2+ x_2^2+ x_3^2 <4$.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
$ x^3-2x^2+(1-m)x+m=0$
$\Leftrightarrow (x-1)\underbrace{(x^2-x-m)}_{\displaystyle g(x)}=0$
Trước hết để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì PT $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.
$\Leftrightarrow
\begin{cases} \Delta_g >0\\g(0) \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}1+4m>0 \\-m \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}m>-\frac{1}{4} \\ m \ne 0\end{cases}$.
Nhận thấy ở ký hiệu ban đầu của bài toán thì $x_1=1$ và $x_2, x_3$ là các nghiệm của PT $g(x)=0$.
Như vậy,
$x_1^2+
x_2^2+ x_3^2 <4\Leftrightarrow x_2^2+ x_3^2 <3\Leftrightarrow
(x_2+x_3)^2-2x_2x_3<3\underbrace{\Leftrightarrow}_{\displaystyle
\text {Vi-ét}} (1)^2-2.(-m) <3\Leftrightarrow 1+2m<3\Leftrightarrow m<1$.
Tóm lại, $\boxed{\displaystyle\begin{cases}1>m>-\frac{1}{4} \\ m \ne 0\end{cases}}$.
Ví dụ $5.$
Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị hàm số $(C):
y=-x^3-3x^2+4$ cắt đường thẳng $(d) :y=m+2$ tại $1$ điểm, $2$ điểm, $3$
điểm phân biệt.
Lời giải :
Xét phương trình tương giao :
$ -x^3-3x^2+4=m+2$
Thực hiện thao tác khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(C)$ ta thu được bảng biến thiến
$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & \; & \; & -2 & \; & \;& 0 & \; & +\infty\\
\hline
y' & \; & - & \; & 0 & \; & + & 0 & - &\; \\
\hline
\quad & +\infty \; & \; & & \; & \; & &4 &\; &\; \\
f(x) & \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; &\;& \searrow & \; \\
& \; & \; &&0 & \; & \: & \; & &-\infty
\end{array}$
Chú ý rằng $y=m+2$ là dạng những đường thẳng song song với trục hoành. Vì thế, dựa vào bảng biến thiên ta có
$(C)$
cắt $(d)$ tại $1$ điểm nếu $\left[ {\begin{matrix} m+2>4\\ m+2<0
\end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} m>2\\
m<-2 \end{matrix}} \right.$.
$(C)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt nếu $\left[ {\begin{matrix} m+2=4\\
m+2=0 \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix}
m=2\\ m=-2 \end{matrix}} \right.$.
$(C)$ cắt $(d)$ tại $3$ điểm phân biệt nếu $0<m+2<4\Leftrightarrow -2<m<2$.
Ví dụ $6.$
Cho hàm số $(C_m) : y=x^4-(3m+2)x^2+3m$
Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn $2$.
Lời giải:
Xét phương trình tương giao :
$ x^4-(3m+2)x^2+3m=-1\underbrace{\Leftrightarrow }_{\displaystyle t=x^2}t^2-(3m+2)t+3m+1=0$
Yêu cầu bài toán tương đương với PT $ t^2-(3m+2)t+3m+1=0$ có hai nghiệm dương và bé hơn $4$.
Mặt khác $t^2-(3m+2)t+3m+1=0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=2\\ t=3m+1 \end{matrix}} \right.$
Từ
đó suy ra : $\begin{cases}3m+1 \ne 1\\ 0<3m+1<4
\end{cases}\Leftrightarrow \boxed{ \displaystyle
\begin{cases}-\frac{1}{3} < m < 1 \\m \ne 0 \end{cases}}$.
Bài tập tương tự
$1.$ Cho đường cong $y=-x^3+3x^2 (C)$ và đường thẳng $y=-k^3+3k^2$. Tìm $k$ để chúng cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn : Xét PT tương giao
$-x^3+3x^2=-k^3+3k^2\Leftrightarrow (x-k)\left[ {x^2+x(k-3)+k^2-3k} \right]=0$.
Đáp số : $\begin{cases}-1<k<3\\ k \ne 0; k \ne 2 \end{cases}$.
$2.$ Cho hàm số $(C_m) : y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)$
Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn $3$.
Hướng dẫn: Xét phương trình tương giao :
$ x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\underbrace{(x^2+2mx-m^2-1)}_{\displaystyle g(x)}=0$
Ta cần có $\Leftrightarrow
\begin{cases} \Delta'_g=m^2+m+1
>0\\(3-x_1)(3-x_2)>0\\x_1+x_2<6\\g(2) \ne 0
\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 9-3(x_1+x_2)+x_1x_2>0\\x_1+x_2<6\\-m^2+4m+3 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}3-\sqrt {17} < m < 3+ \sqrt{17} \\ m \ne 2 \pm \sqrt {17} \end{cases}$.
|