Tích phân hàm lượng giác tổng quát có dạng :
$I=\int\limits_{a}^{b}F(\sin x, \cos x)dx$.
Tùy thuộc vào tính chất và dạng đặc biệt của hàm $F(\sin x, \cos x)$ hoặc mối quan hệ giữa hàm $F(\sin x, \cos x)$ với các cận lấy tích phân mà chúng ta sử dụng phép biến đổi tương đương.
DẠNG $1$. $F(\sin x, \cos x)=F(-\sin x,- \cos x)$ ($F$ là hàm số chẵn theo $\sin x$ và $\cos x$)
Cách giải : Đặt $t=\tan x$ hoặc $t = \cot x$.
Ví dụ $1$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{\sin^3 x-\sin x}}{\sin^3 x}\cot xdx$.
Lời giải:
Rõ ràng $F=\frac{\sqrt[3]{\sin^3 x-\sin x}}{\sin^3 x}\cot x=\frac{\sqrt[3]{(-\sin x)^3-(-\sin x)}}{(-\sin x)^3}.\frac{-\cos x}{-\sin x}$ nên nó là hàm số chẵn theo $\sin x$ và $\cos x$.
Ta có :
$I=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{1-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}}}{\sin^2 x}\cot xdx=\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{1-(1+\cot^2 x)}}{\sin^2 x}\cot xdx=-\int\limits_{\displaystyle \frac{\pi}{6}}^{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\frac{\sqrt[3]{\cot^2x}}{\sin^2 x}\cot xdx$
Đặt $t=\cot x\Rightarrow dt=-\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}dx.$
Khi $x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow t=\sqrt 3; x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt 3}$.
Từ đó
$I=\int\limits_{\displaystyle \sqrt 3}^{\displaystyle \frac{1}{\sqrt 3}}t^{\displaystyle\frac{2}3}.tdt=\int\limits_{\displaystyle \sqrt 3}^{\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}}t^{\displaystyle\frac{5}{3}}dt=\boxed{\displaystyle\frac{1}{8}\left (9\sqrt[3]{3} -\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right )}.$
DẠNG $2$. $F(\sin x, \cos x)=-F(\sin x,- \cos x)$ ($F$ là hàm số lẻ theo $\cos x$)
Cách giải : Đặt $t=\sin x$.
Ví dụ $2$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{(2+\sin x)^2}dx$.
Lời giải:
Ta
thấy $F=\frac{\sin 2x}{(2+\sin x)^2}=\frac{2\sin x \cos x}{(2+\sin
x)^2}=-\frac{2\sin x (-\cos x)}{(2+\sin x)^2}$ nên $F$ là hàm số lẻ theo
$\cos x$.
Ta có :
$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{2\sin x \cos x}{(2+\sin x)^2}dx$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos x dx.$
Khi $x=0\Rightarrow t=0; x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=1$.
Từ đó
$I=\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{t}{(2+t)^2}dt=2\left
(\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{2+t}dt-\int\limits_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{(2+t)^2}dt
\right )=\boxed{\displaystyle2\left
(\ln \frac{3}{2} -\frac{1}{{3}}\right )}.$
DẠNG $3$. $F(\sin x, \cos x)=-F(-\sin x, \cos x)$ ($F$ là hàm số lẻ theo $\sin x$)
Cách giải : Đặt $t=\cos x$.
Ví dụ $3$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos 2x}dx$.
Lời giải:
Ta thấy $F=\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos 2x}=-\frac{(-\sin x)-(-\sin x)^3}{\cos 2x}$ nên $F$ là hàm số lẻ theo $\sin x$.
Đặt $t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin x dx.$
Khi $x=0\Rightarrow t=1; x=\frac{\pi}{6}\Rightarrow t=\frac{\sqrt 3}{2}$.
Ta có :
$I=\int\limits_{\displaystyle
0}^{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\frac{\sin x-\sin^3 x}{\cos
2x}dx=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle
\frac{\pi}{6}}\frac{\sin^2 x-1}{2\cos^2 x-1}(-\sin
x)dx=-\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle
\frac{\pi}{6}}\frac{\cos^2 x}{2\cos^2 x-1}(-\sin x)dx$
$=-\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\sqrt
3}{2}}\frac{t^2}{2t^2-1}dt=-\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt
3}{2}}\frac{2t^2-1+1}{2t^2-1}dt=-\frac{1}{2}\left
(\int\limits_{\displaystyle 1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt
3}{2}}dt+\int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{2t^2-1} \right
)$
$=-\frac{1}{2}\left (\int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt
3}{2}}dt-\frac{1}{2}\int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{\sqrt 2t-1-(\sqrt 2t+1)}{(\sqrt 2t-1)(\sqrt 2t+1)} \right
)$
$=-\frac{1}{2}\left (\displaystyle \frac{\sqrt {3}}{2}-1-\frac{1}{2}\left ( \int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{\sqrt 2t+1}- \int\limits_{\displaystyle
1}^{\displaystyle\frac{\displaystyle\sqrt 3}{2}}\frac{dt}{\sqrt 2t-1} \right ) \right
)$
$=\boxed{\displaystyle
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\left (\ln\left
(\frac{\sqrt{6}}{2}+1 \right )-\ln(\sqrt 2+1)-\ln\left
(\frac{\sqrt{6}}{2}-1 \right )+\ln(\sqrt 2-1)\right )}$.
DẠNG $4$. $F(\sin x, \cos x)=\frac{a_1\sin x+b_1\cos x+c_1}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}$
Cách giải : Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$.
Ví dụ $4$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{\displaystyle 0}^{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$.
Lời giải:
Đặt
$t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}
\\\sin x=\frac{2t}{1+t^2}; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}.$
Khi $x=0\Rightarrow t=1; x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=1$.
Ta có :
$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\displaystyle
\frac{8t}{1+t^2}+3\frac{1-t^2}{1+t^2}+5}.\frac{2dt}{1+t^2}=\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+4t+4}=\int\limits_{0}^{1}\frac{d(t+2)}{(t+2)^2}=\boxed{\displaystyle\frac{1}{6}}$.
MỘT SỐ
BÀI TOÁN KHÁC
Thí dụ $5$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n x}dx$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.
Lời giải :
Đặt $t=\frac{\pi}{2}-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$
Từ đó
$I=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{\cos^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right
)}{\cos^n \left ( \frac{\pi}{2}-t \right ) + \sin^n \left (
\frac{\pi}{2}-t \right )}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n
t}{\sin^n t + \cos^n t}dt=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n
x + \cos^n x}dx$
Do đó
$2I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n
x}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^n x}{\cos^n x + \sin^n
x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx=\frac{\pi}{2}$
Vậy $I=\boxed{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}$.
Lời bình : Do cận lấy tích phân có dạng $a=0; b=\frac{\pi}{2}$, nên các hàm $\sin
x$ và $\cos x$ có mối liên hệ của các góc phụ nhau. Trong trường hợp này ta thường
dùng phép biến đổi $t=\frac{\pi}{2}-x$.
Thí dụ $6$. Tính tích phân
$I=\int\limits_{0}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$
Lời giải :
Ta có
$I=\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin
3xdx+\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin
3xdx (1)$
Xét tích phân
$J=\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{3\pi}\sin x.\sin 2x. \sin 3xdx$.
Đặt $t=3\pi-x\Rightarrow dx=-dt$
Khi $x=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi}{2}; x=3\pi \Rightarrow t=0$
Từ đó
$J=-\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{0}\sin (3\pi-t).\sin (6\pi-2t). \sin
(9\pi-3t)dt$
$=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin t.\sin 2t. \sin
3tdt=-\int\limits_{0}^{\frac{3\pi}{2}}\sin x.\sin 2x. \sin
3xdx (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $I=\boxed{0}$.
Lời bình . Có thể sử dụng kết quả sau đây để suy ra kết quả thí dụ $6$ : Cho
hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0;2a]$. Khi đó
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}\left ( f(x)+f(2a-x) \right )dx$
Hướng dẫn :
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{0}^{a}f(x)dx+\int\limits_{a}^{2a}f(x)dx$
Đổi biến số $t=2a-x$ trong tích phân thứ hai ở vế phải đẳng thức trên ta được
$\int\limits_{0}^{2a}f(x)dx=\int\limits_{a}^{0}f(2a-t)(-dt)=\int\limits_{0}^{a}f(2a-x)dx,$
từ đó suy ra điều cần chứng minh.
CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các tích phân sau
$1.$ $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^6
x dx$;
$2.$ $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin
x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5} dx$;
$3.$ $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sqrt[4]{\displaystyle{\sin^3
x.\cos^5 x}}}dx$;
$4.$ $I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^3
x+\cos^5 x}{\sin^2 x+ \sin^4 x}dx$;
$5.$ $I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{\sin^2
x.\cos^4 x}dx$.