A. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).
- Chứng minh rằng : điểm I(x0,y0) là tâm đối xứng của đồ thị.
- Tìm điểm I(x0,y0) là tâm đối xứng của đồ thị.
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến →OI=(x0,y0) công thức đổi trục là : {x=X+x0y=Y+y0
+ Viết phương trình đường cong (C) trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).
+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm lẻ. Từ đó kết luận điểm I(x0,y0) là tâm đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm lẻ.
Cách 2 :
Gọi D là miền xác định của hàm số f(x)
Ta chứng minh rằng : ∀(x0±x)∈D thì f(x0+x)+f(x0−x)=2y0
Ví dụ 1.
Cho hàm số (C):y=x+1+1x−1. Chứng minh rằng điểm I(1;2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Cách 1 :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến →OI=(1,2); công thức đổi trục là : {x=X+x0y=Y+y0⇒{x=X+1y=Y+2
Phương trình đường cong (C) trong hệ trục IXY là :
Y+2=X+2+1X⇔Y=X+1X=F(X)
Ta có : F(−X)=(−X)+1(−X)=−(X+1X)=−F(X)
⇒F(X) là hàm số lẻ nên I(1,2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2.
Miền xác định của hàm số D=R∖{1}.
Với mọi (1±x)∈D thì :
f(1+x)=(1+x)+1+1(1+x)−1=x+2+1x
f(1−x)=(1−x)+1+1(1−x)−1=−x+2−1x
f(1+x)+f(1−x)=4=2y0
Vậy I(1,2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2. Cho (C):y=x3−3x2+1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định D=R.
Gọi I(a,b) là tâm đối xứng của đồ thị.
Với mọi (a±x)∈D thì :
f(a+x)=(a+x)3−3(a+x)2+1
f(a−x)=(a−x)3−3(a−x)2+1
f(a+x)+f(a−x)=6(a−1)x2+2a3−6a2+2
Điểm I(a,b) là tâm đối xứng của đồ thị (C).
⇔f(a+x)+f(a−x)=2b
⇔6(a−1)x2+2a3−6a2+2=2b
⇔{a=12a3−6a2+2=2b
⇔{a=1b=−1
Vậy I(a,b) là tâm đối xứng của đồ thị (C).
Bài tập tự giải :
1. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. y=x+1x+1
b. y=x+1x−2
2. Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số :
a. y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
b. y=ax2+bx+aax+b
B. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán :
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)
+ Chứng minh rằng : đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị.
+ Tìm trục đối xứng của đồ thị có phương song song với trục tung (∥Oy).
Phương pháp :
Cách 1 :
+ Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến →OI=(x0,y0) công thức đổi trục là : {x=X+x0y=Y+y0 với I(x0;0) nên {x=X+x0y=Y
+ Viết phương trình đường cong (C) trong hệ trục mới, giả sử có phương trình Y=F(X).
+ Kiểm tra hàm Y=F(X) là hàm chẵn. Từ đó kết luận đường thẳng x=x0 là trục đối xứng của đồ thị.
Chú ý : Nếu bài toán yêu cầu tìm trục đối xứng của đồ thị thì ta áp đặt điều kiện để hàm Y=F(X) là hàm chẵn.
Cách 2 :
Gọi D là miền xác định của hàm số f(x)
Ta chứng minh rằng : ∀(x0±x)∈D thì f(x0+x)=f(x0−x).
Ví dụ 1.
Cho hàm số (C):y=x2−2x+3. Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến →OI=(1,0) công thức đổi trục là : {x=X+x0y=Y+y0 với I(1;0) nên {x=X+1y=Y
Phương trình đường cong (C) trong hệ trục IXY là :
Y=(X+1)2−2(X+1)+3=X2+2=F(X)
Ta có : F(−X)=(−X)2+2=F(X)
⇒F(X) là hàm số chẵn nên x=1 là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 2.
Cho hàm số (C):y=x4−4x3−2x2+12x−1. Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị.
Lời giải :
Miền xác định D=R.
Với mọi (1±x)∈D. Ta có :
{f(1+x)=(1+x)4−4(1+x)3−2(1+x)2+12(1+x)−1=x4−8x2+6f(1−x)=(1−x)4−4(1−x)3−2(1−x)2+12(1−x)−1=x4−8x2+6⇒f(1+x)=f(1−x)
Vậy x=1 là trục đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 3.
Tìm a, b để đồ thị (C) của hàm số y=x4+ax3+bx2+2x nhận đường thẳng x=−1 làm trục đối xứng.
Lời giải :
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY theo vectơ tịnh tiến →OI=(−1,0) công thức đổi trục là : {x=X+x0y=Y+y0 với I(−1;0) nên {x=X−1y=Y
Phương trình đường cong (C) trong hệ trục IXY là :
Y=(X−1)4+a(X−1)3+b(X−1)2+2(X−1)
=X4+(a−4)X3+(b−3a+6)X2+(3a−2−2b)X+b−a−1
Để hàm số này là hàm số chẵn thì
{a−4=03a−2−2b=0⇔{a=4b=5
Vậy khi a=4 và b=5 thì x=−1 là trục đối xứng của đồ thị.
Bài tập tự giải
1. Gọi (C) là đồ thị hàm số y=x4+4ax3−2x2−12ax. Xác định a để (C) có trục đối xứng cùng phương với Oy.
2. Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C) có phương trình y=x4−4x3+6x2−4x.
|