Công thức tổng quát : f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′
Phương pháp :
+ Tính đạo hàm cấp 1,2,3,⋯ từ đó suy ra công thức tổng quát của đạo hàm cấp n.
+ Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức tổng quát tren đúng.
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=cosx.
Lời giải :
Ta có : y′=−sinx=cos(x+π2)
y″=(−sinx)′=−cosx=cos(x+π)
y‴=sinx=cos(x+3π2)
⋯
Dự đoán : y(n)=cos(x+nπ2) với n∈N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′=cos(x+π2)=−sinx⇒ công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)=cos(x+kπ2)
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)=cos(x+(k+1)π2)
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)(x)=[y(k)(x)]′=[cos(x+kπ2)]′=−sin(x+kπ2)=cos(x+(k+1)π2).
Vậy y(k+1)=cos(x+(k+1)π2) luôn đúng.
Do đó : y(n)=cos(x+nπ2) với n∈N.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=1x+1.
Lời giải :
Ta có : y′=−1(x+1)2=−(x+1)−2
y″=2(x+1)−3
y‴=−2.3(x+1)−4
⋯
Dự
đoán : y(n)=(−1)n.n!.(x+1)−(n+1)=(−1)n.n!(x+1)n+1 với n∈N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′=−1(x+1)2=−(x+1)−2⇒ công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)=(−1)k.k!.(x+1)−(k+1)=(−1)k.k!(x+1)k+1
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)(x)=[y(k)(x)]′=[(−1)k.k!.(x+1)−(k+1)]′=−(−1)k.k!(k+1)(x+1)−(k+1)−1
=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2.
Vậy y(k+1)=(−1)k+1.(k+1)!.(x+1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x+1)k+2 luôn đúng.
Do
đó : y(n)=(−1)n.n!.(x+1)−(n+1)=(−1)n.n!(x+1)n+1 với n∈N.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y=2x+1x2−4x+3.
Lời giải :
Phân tích : y=2x+1x2−4x+3=ax−1+bx−3.
⇔2x+1=(a+b)x−3a−b
Cân bằng hệ số hai vế ta được :
⇔{a+b=2−3a−b=1⇔{a=−32b=72
⇒y=2x+1x2−4x+3=−32.1x−1+72.bx−3
Đặt y1=1x−1 và y2=1x−3.
Tính đạo hàm cấp n của hàm số y1.
Ta có : y′1=−1(x−1)2=−(x−1)−2
y″1=2(x−1)−3
y‴1=−2.3(x−1)−4
⋯
Dự
đoán : y(n)1=(−1)n.n!.(x−1)−(n+1)=(−1)n.n!(x−1)n+1 với n∈N.
Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp :
Với n=1:y′1=−1(x−1)2=−(x−1)−2⇒ công thức đúng với n=1.
Giả sử công thức đúng với n=k:y(k)1=(−1)k.k!.(x−1)−(k+1)=(−1)k.k!(x−1)k+1
Ta sẽ chứng minh công thức đúng với n=k+1
nghĩa là y(k+1)1=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2
Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được :
y(k+1)1(x)=[y(k)1(x)]′=[(−1)k.k!.(x−1)−(k+1)]′=−(−1)k.k!(k+1)(x−1)−(k+1)−1
=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2.
Vậy y(k+1)1=(−1)k+1.(k+1)!.(x−1)−(k+2)=(−1)k+1.(k+1)!(x−1)k+2 luôn đúng.
Do
đó : y(n)1=(−1)n.n!.(x−1)−(n+1)=(−1)n.n!(x−1)n+1 với n∈N.
Tính tương tự như trên ta cũng được :
y(n)2=(−1)n.n!.(x−3)−(n+1)=(−1)n.n!(x−3)n+1
Vậy
y(n)=−32.y(n)1+72.y(n)2
y(n)=(−1)n.n!.[−32.1(x−1)n+1+72.1(x−3)n+1]
Bài tập tự giải :
1. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau :
a. y=sinx
b. y=12−x
c. y=ex+e−x
d. y=lgx
2. Chứng minh rằng hàm số y=e−x2 thỏa mãn hệ thức :
y(n)+2xy(n−1)+2(n−1)y(n−2)=0
|