A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
Đường thẳng d đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) có :
- Phương trình tham số của d:{x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R)
- Phương trình chính tắc của d:x−x0a=y−y0b=z−z0c(abc≠0)
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Đường thẳng d đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) và đường thẳng d′ đi qua M′0(x′0;y′0;z′0) và có vectơ chỉ phương →u′=(a′;b′;c′) . Khi đó:
+ d và d′ cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔[→u,→u′].→M0M′0=0 .
+ d và d′ cắt nhau ⇔{[→u,→u′].→M0M′0=0[→u,→u′]≠→0.
+ d∥d′⇔{[→u,→u′]=→0[→u,→M0M′0]≠→0.
+ d≡d′⇔[→u,→u′]=[→u,→M0M′0]=→0
+ d và d′ chéo nhau ⇔[→u,→u′]→M0M′0=→0
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
Đường thẳng d đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) và mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0 có vectơ pháp tuyến →n=(A;B;C) . Khi đó:
+ d cắt (P)⇔Aa+Bb+Cc≠0
+ d∥(P)⇔{Aa+Bb+Cc=0Ax0+by0+Cz0+D≠0
+ d⊂(P)⇔{Aa+Bb+Cc=0Ax0+by0+Cz0+D=0
+ d⊥(P)⇔→u∥→n⇔[→u,→n]=→0
4. Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) và đường thẳng d′ có vectơ chỉ phương →u′=(a′;b′;c′). Gọi 0∘≤ϕ≤90∘ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
cosϕ=|→u.→u′||→u|.|→u′|=|aa′+bb′+cc′|√a2+b2+c2.√a′2+b′2+c′2
5. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương →u=(a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến →n=(A;B;C) . Gọi 0∘≤ψ≤90∘ là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có:
sinψ=|→u.→n||→u|.|→n|=|Aa+Bb+Cc|√a2+b2+c2.√A2+B2+C2
6. Khoảng cách từ điểm M1(x1;y1;z1) đến đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương →u :
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.
- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q) .
- d(M1,Δ)=M1H .
+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(M1,Δ)=|[→M1M0,→u]||→u|
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau Δ đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương →u và đường thẳng Δ′ đi qua M′0(x′0;y′0;z′0) và có vectơ chỉ phương →u′ .
+ Cách 1:
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa Δ và song song với Δ′.
- Tính khoảng cách từ M′0 tới mặt phẳng (Q) .
- d(Δ,Δ′)=d(M′0,(Q)) .
+ Cách 2: Sử dụng công thức: d(Δ,Δ′)=|[→u,→u′].→M0M′0||[→u,→u′]| .
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d:x+12=y−11=z−23 và mặt phẳng P:x−y−z−1=0 . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A(1;1;−2) ,
song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.
Lời giải :
Để tìm một VTCP của Δ ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, →uΔ=[→ud;→nP]=(2;5;−3)
Trong đó →ud=(2;1;3);→nP=(1;−1;−1)
Δ đi qua A(1;1;−2) và có VTCP →uΔ=(2;5;−3) nên có phương trình
Δ:x−12=y−15=z+2−3
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
Δ:x−12=y+11=z−1
và mặt phẳng P:x−y−z−1=0 . Viết phương trình đường thẳng
d đi qua M(2;1;0) , cắt và vuông góc với Δ.
Lời giải :
→uΔ=(2;1;−1) . Gọi H=d∩Δ.
Do H∈Δ nên có thể giả
sử H(1+2t;−1+t;−t)⇒→MH=(2t−1;t−2;−t).
→MH⊥→uΔ⇔2(2t−1)+(t−2)−(−t)=0⇔t=23⇔→ud=3→MH=(1;−4;−2)
⇒d:{x=2+ty=1−4tz=−2t
Bài tập tương tự
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
{x=−ty=−1+2tz=2+t(t∈R) và mặt phẳng (P):2x−y−2z−3=0.Viết phương trình
tham số của đường thẳng Δ nằm trên (P), cắt và vuông góc với
(d).
Đáp số :
Δ:{x=1+ty=−3z=1+t(t∈R).
Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
d:x+13=y−2−2=z−22
và
mặt phẳng (P):x+3y+2z+2=0. Lập phương trình đường thẳng
Δ song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2;2;4) và cắt đường
thẳng (d).
Lời giải :
Đường thẳng (d) có PT tham số : {x=−1+3ty=2−2tz=2+2t.
Mặt phẳng (P) có VTPT →n=(1;3;2)
Giả sử N(−1+3t;2−2t;2+2t)∈d⇒→MN=(3t−3;−2t;2t−2)
Để MN∥(P) thì →MN.→n=0⇔1.(−1+3t)+3.(2−2t)+2.(2+2t)=0⇔t=7⇒→MN=(18;−14;12)
Do Δ∥MN nên chọn →uΔ=(9;−7;6)
Phương trình đường thẳng Δ:x−29=y−2−7=z−46
Câu hỏi tương tự:
d:x1=y−12=z−21,(P):x+3y+2z+2=0,M(2;2;4). Đáp số :
Δ:x−11=y−3−1=z−31
Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác.
Ví dụ 1. Trong
không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua
điểm M(−4;−5;3) và cắt cả hai đường thẳng: d1:{2x+3y+11=0y−2z+7=0 và d2:x−22=y+13=z−1−5
Lời giải :
Viết
lại phương trình các đường thẳng: d1:{x=5−3t1y=−7+2t1z=t1(t1∈R),d2:{x=2+2t2y=−1+3t2z=1−5t2(t2∈R)
Gọi A=d∩d1,B=d∩d2⇒A(5−3t1;−7+2t1;t1),B(2+2t2;−1+3t2;1−5t2).
→MA=(−3t1+9;2t1−2;t1−3),→MB=(2t2+6;3t2+4;−5t2−2)
[→MA,→MB]=(−13t1t2−8t1+13t2+16;−13t1t2+39t2;−13t1t2−24t1+31t2+48)
M,A,B thẳng hàng ⇔→MA,→MB
cùng phương ⇔[→MA,→MB]=→0
⇒A(−1;−3;2),B(2;−1;1)⇒→AB=(3;2;−1)
Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP \overrightarrow{AB} = (3;2;-1)
\Rightarrow d: \begin{cases}x=-4-3t \\ y=-5+2t \\z=3-t\end{cases} (t \in \mathbb{R})
Câu hỏi tương tự:
M(3;10;1), d_1 :
\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+3}{2} và d_2 :
\frac{x-3}{1}=\frac{y-7}{-2}=\frac{z-1}{-1}
Đáp số : d: \begin{cases}x=3+2t \\ y=10-10t \\z=1-2t\end{cases} (t \in \mathbb{R})
Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.
Ví dụ 1. Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):
\begin{cases}x=2+4t \\ y=3+2t \\z=-3+t\end{cases} và mặt phẳng (P): -x
+ y + 2z + 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng (\Delta) nằm trong
(P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là \sqrt{14} .
Lời giải :
Chọn A(2;3; -3), B(6;5; -2) \in (d), mà thấy rằng A, B \in (P) nên (d) \subset (P) .
Gọi
\overrightarrow{u} là VTCP của ( d_1) \subset (P), qua A và vuông
góc với (d) thì \begin{cases}\overrightarrow{u} \perp
\overrightarrow{u_d} \\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_P}
\end{cases}
nên ta chọn \overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d} ,\overrightarrow{u_P} ] = (3;-9;6) .
Phương trình của đường thẳng ( d_1) : \begin{cases}x=2+3t \\ y=3-9t \\z=-3+6t\end{cases}
Lấy M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) \in ( d_1) . (\Delta) là đường thẳng qua M và song song với (d).
Theo đề : AM=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=\sqrt{14}\Leftrightarrow 9t^2=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}
Với t= \frac{1}{3}\Rightarrow M(1;6;-5)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+5}{1}
Với t= -\frac{1}{3}\Rightarrow M(3;0;-1)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-3}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}
Ví dụ 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
đường thẳng (d): \begin{cases}x=2+t \\ y=1-t \\z=1-3t\end{cases} và
mặt phẳng (P): x + y -z + 1= 0 . Gọi I là giao điểm của d và
(P). Viết phương trình của đường thẳng \Delta nằm trong (P), vuông
góc với d sao cho khoảng cách từ I đến \Delta bằng 3 \sqrt 2.
Lời giải :
(P) có VTPT \overrightarrow{n_P}= (1;1;-1) và d có VTCP \overrightarrow{u}= (1;-1;-3) .
I = d \cap (P)\Rightarrow I(x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t) \in (P) \Rightarrow I(1;2;4)
Vì \Delta \subset (P); \Delta \perp d \Rightarrow \Delta có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u}]=(-4;2;-2)
Gọi H là hình chiếu của I trên \Delta \Rightarrow H \in mp(Q) qua I và vuông góc \Delta
\Rightarrow Phương trình (Q): -4(x -1) + 2(y - 2) -2(z - 4) = 0\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0
Gọi
d_1 = (P) \cap (Q)\Rightarrow d_1 có VTCP
\overrightarrow{u_{d_1}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}] =
(0;3;3) = 3(0;1;1) và d_1 qua I\Rightarrow d_1 : \begin{cases}x=1
\\ y=2+t \\z=4+t\end{cases}
Giả sử H \in d_1 \Rightarrow H(1;2 + t;4 + t) \Rightarrow\overrightarrow{IH} = (0;t;t)
Ta có:
IH=3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt{2t^2}=3\sqrt 2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\t=-3 \end{matrix}} \right.
Với t=3\Rightarrow H(1;5;7)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-7}{-1}
Với t= -3\Rightarrow M(1;-1;1)\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}
Câu hỏi tương tự:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0 và đường thẳng
d : \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-3}{-1}. Viết phương trình đường thẳng \Delta vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2.
Đáp số :
\Delta : \begin{cases}x=-\frac{19}{11}+2t \\ y=-\frac{45}{11}+t \\z=\frac{41}{11}-2t\end{cases} (t \in \mathbb{R})
hoặc \Delta: \begin{cases}x=-\frac{7}{11}+2t \\ y=\frac{39}{11}+t \\z=\frac{29}{11}-2t\end{cases} (t \in \mathbb{R})