1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Ví dụ : Giải hệ phương trình
(II) $\left\{ \begin{gathered}
{x^2} + xy + {y^2} = 4 \\
xy + x + y = 2 \\
\end{gathered} \right.$
Cách giải:
Ta có nhận xét rằng vế trái của mỗi phương trình trong hệ đã cho là một biểu thức đối xứng đối với x và y (nghĩa là: Khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi). Trong trưởng hợp này ta dùng cách đặt ẩn phụ
S = x + y và P = xy
Khi đó ${x^2} + xy + {y^2} = {(x + y)^2} - xy = {S^2} - P$
Do đó, từ hệ (II), ta có hệ phương trình (ẩn là S và P)
$\left\{ \begin{gathered}
{S^2} - P = 4 \\
S + P = 2 \\
\end{gathered} \right.$
Dễ thấy hệ này có hai nghiệm là $\left\{ \begin{gathered}
S = - 3 \\
P = 5 \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\& \,\,\,\left\{ \begin{gathered}
S = 2 \\
P = 0 \\
\end{gathered} \right.$
Do đó
(II) $ \Leftrightarrow \left( {IIa} \right)\left\{ \begin{gathered}
x + y = - 3 \\
xy = 5 \\
\end{gathered} \right.\,\,\,$hoặc $\left( {IIb} \right)\left\{ \begin{gathered}
x + y = 2 \\
xy = 0 \\
\end{gathered} \right.$
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Giải hệ phương trình: $(III)\left\{ \begin{gathered}
{x^2} - 2x = y \\
{y^2} - 2y = x \\
\end{gathered} \right.$
Cách giải: Ta có nhận xét: Trong hệ (III), nếu thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất biến thành phương trình thứ 2 và ngược lại.
Đối với hệ phương trình có tính chất đó, ta thường giải bằng cách trừ từng vế hai phương trình trong hệ. Cụ thể, đối với hệ (III) ta trừ từng vế hai phương trình trong hệ và được:
$
({x^2} - {y^2}) - 2(x - y) = - (x - y) \Leftrightarrow (x - y)(x + y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0$ hoặc $x + y - 1 = 0
$
Do đó:
$(III) \Leftrightarrow (IIIa)\left\{ \begin{gathered}
x - y = 0 \\
{x^2} - 2x = y \\
\end{gathered} \right.$ hoặc $(IIIb)\left\{ \begin{gathered}
x + y - 1 = 0 \\
{x^2} - 2x = y \\
\end{gathered} \right.$
Ta chỉ cần giải hai hệ (IIIa) và (IIIb) mà đã biết cách giải
CHÚ Ý
1) Các hệ phương trình có tính chất như trong hai ví dụ 2 và 3 được gọi chung là hệ phương trình đối xứng (đối với hai ẩn).
2) Nếu một hệ phương trình đối xứng có nghiệm là (a; b) thì nó cũng có nghiệm (b; a). Nhận xét này rất hữu ích khi gặp các bài toán về hệ phương trình đối xứng.
|