|
|
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài của cung tròn
a, Độ
Ta đã biết đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng ${360^o}$. Nếu
chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng
$\frac{{2\pi R}}{{360}} = \frac{{\pi R}}{{180}}$ và có số đo ${1^o}$.
Vậy cung tròn bán kính R có số đo $a^0 (0 \leq a \leq 360^0 )$ thì có độ dài $\frac{\pi a}{180}.R $
b, Rađian
ĐỊNH NGHĨA
Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1
rađian. Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1
rađian.
1 rađian còn viết tắt là 1 rad
CHÚ Ý
Vì tính chất tự nhiên và thông dụng của rađian, người ta thường không viết chữ
rađian hay rad sau đó của cung và góc, chẳng hạn$\frac{\pi }{2}$ rad cũng được viết là$\frac{\pi }{2}$.
GHI NHỚ
Bảng chuyển đổi số đo độ và số đo rađian của một số cung tròn
2. Góc và cung lượng giác
a, Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng
- Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng hộ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)
- Cho hai tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia dầu Ou, tia cuối Ov. Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ov nhiều lần, mỗi lần ta được một góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuố Ov. Do đó, cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều được kí hiệu là (Ou, Ov).
Khi tia Om quay góc ${a^o}$(hay $\alpha $ rad) thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo ${a^o}$(hay $\alpha $ rad)
Như vậy: Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo độ (hay số đo rađian) của nó.
Tổng quát
Nếu một góc lượng giác có số đo ${a^o}$(hay $\alpha $ rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng ${a^0} + {360^0}$(hay $\alpha + k2\pi \,(rad)$), k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k.
CHÚ Ý
Không được viết ${a^0} + k2\pi $ hay $\alpha + k{360^0}$ (vì không cùng đơn vị đo)
b, Khái niệm cung lượng giác và số đo của chúng
- Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ. Đường tròn với chiều di động đã được chọn như thế là đường tròn định hướng.
Gọi giao của các tia Ou, Ov nói trên với đường tròn đó là U và V. Khi tia Om quét nên góc lượng giác (Ou, Ov) thì điểm M chạy trên đường tròn luôn theo 1 chiều từ điểm U đến điểm V. Ta nói điểm M vạch nên 1 cung lượng giác với điểm đầu U, điểm cuối V, tương ứng với góc lượng giác (Ou, Ov). Vậy 2 điểm U và V trên đường tròn định hướng xác định vô số cung lượng giác ( họ cung lượng giác ) mút đầu U, mút cuối V, cùng được kí hiệu là
Ta coi số đo góc lượng giác (Ou, Ov) là số đo của cung lượng giác tương ứng.
Từ đó:
Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác được xác định bởi mút đầu, mút cuối và số đo của nó. Nếu một cung lượng giác có số đo $\alpha $thì mọi cung lượng giác cùng mút đầu U mút cuối V có số đo dạng $\alpha + k2\pi (k \in \mathbb{R})$; mỗi cung ứng với một giá trị của k.
3. Hệ thức Sa – lơ
Ta thừa nhận một hệ thức có dạng tương tự gọi là hệ thức Sa – lơ về số đo của góc lượng giác:
Với ba tia tùy ý Ou, Ov, Ow, ta có:
$(Ou,Ov) + (Ov,Ow) = (Ou,Ow) + k2\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})$
Đó là một hệ thức quan trọng trong tính toán về số đo của góc lượng giác.
Từ hệ thức trên suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov, ta có:
$s{\text{d}}(Ou,Ov) = s{\text{d}}(Ox,Ov) - s{\text{d}}(Ox,Ou) + k2\pi \,\,\,(k \in \mathbb{Z})$
|