1 . Giao điểm của hai đồ thị
Các đồ thị của hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ cắt nhau tại điểm $M({x_0};{y_0})$ khi và chỉ khi ${y_0} = f({x_0})$ và ${y_0} = g({x_0})$ , tức là $({x_0};{y_0})$một nghiệm hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered}
y = f(x) \\
y = g(x) \\
\end{gathered} \right.$
Như vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình
$f(x) = g(x)$
Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị
Ví dụ: Với các giá trị nào của m, đường thẳng y =m cắt đường cong $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$tại 4 điểm phân biệt
Giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình: ${x^4} - 2{x^2} - 3 = m$ tức là
${x^4} - 2{x^2} - 3 - m = 0$ (1)
Đặt $X = {x^2},X \geqslant 0$ ta được:
${X^2} - 2X - m - 3 = 0$ (2)
Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 4 điểm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương ${X_1},{X_2}$ phân biệt tức là:
$\left\{ \begin{gathered}
\Delta ' > 0 \\
{X_1}{X_2} > 0 \\
{X_1} + {X_2} > 0 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m + 4 > 0 \\
- m - 3 > 0 \\
2 > 0 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < - 3$
2 . Sự tiếp xúc của hai đường cong
ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm ${x_0}$. Ta nói rằng hai đường cong $y = f(x)$ và $y = g(x)$ tiếp xúc với nhau tại điểm $M({x_0};{y_0})$ nếu M là một điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại điểm M . Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Hai đường cong $y = f(x)$ và $y = g(x)$ tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered}
f(x) = g(x) \\
f'(x) = g'(x) \\
\end{gathered} \right.$
Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
Ví dụ: Chứng minh rằng hai đường cong $y = {x^3} + \frac{5}{4}x - 2$và $y = {x^2} + x - 2$
tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó.
Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đã cho tại điểm đó
Giải
Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình
$(I)\left\{ \begin{gathered}
{x^3} + \frac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2 \\
\left( {{x^3} + \frac{5}{4} - 2} \right) = \left( {{x^2} + x - 2} \right) \\
\end{gathered} \right.$
Ta có
$(I)\left\{ \begin{gathered}
{x^3} - {x^2} + \frac{x}{4} = 0 \\
3{x^2} + \frac{5}{4} = 2x + 1 \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tai điểm $M\left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{4}} \right)$
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại điểm M của hai đường cong đã cho là $y'\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm M là $y = 2\left( {x - \frac{1}{2}} \right) - \frac{5}{4}$ hay $y = 2x - \frac{9}{4}$
|