|
|
1. Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit
ĐỊNH NGHĨA
Gỉa sử a là một số dương và khác 1.
Hàm số dạng y=ax được gọi là hàm số mũ cơ số a
Hàm số dạng y=logax được gọi là hàm số lôgarit cơ số a
2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Ta thừa nhận rằng các hàm số y=axvà y=logax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là
∀xo∈R,lim
a) Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)
Từ đó suy ra các giới hạn quan trọng sau:
ĐỊNH LÝ 1
\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\ \end{gathered}
3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a, Đạo hàm của hàm số mũ
ĐỊNH LÝ 2
a, Hàm số y = {a^x} có đạo hàm tại mọi điểm x \in \mathbb{R} và
\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a nói riêng ta có \left( {{e^x}} \right)' = {e^x}
b, Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = {a^{u(x)}} có đạo hàm trên J và \left( {{a^{u(x)}}} \right)' = u'(x){a^{u(x)}}\ln a nói riêng ta có \left( {{e^{u(x)}}} \right)' = u'(x){e^{u(x)}}
b, Đạo hàm của hàm số lôgarit
ĐỊNH LÍ 3
a, Hàm số y = {\log _a}x có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và
\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}; nói riêng ta có\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}
b, Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y = {\log _a}u(x)có đạo hàm trên J và
\left( {\log u(x)} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{u(x)\ln a}} nói riêng ta có \left( {\ln u(x)} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}
HỆ QUẢ
a) \left( {\ln \left| x \right|} \right)' = \frac{1}{x} với mọi x \ne 0
b) Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị khác 0 và số đạo hàm trên J thì
\left( {\ln \left| {u(x)} \right|} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}} với mọi x \in J
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Hàm số y = {a^x}
GHI NHỚ
Hàm số y = {a^x}
* Có tập xác định là \mathbb{R}và tập giá tri giá khoảng (0; + \infty )
* Đồng biến trên \mathbb{R} khi a > 1 nghịch biến trên \mathbb{R} khi 0 < a < 1.
*Có đồ thị
- Đi qua điểm ( 0 ;1)
- Nằm ở phía trên trục hoành,
- Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Đồ thị có một trong hai dạng nêu ở hình vẽ dưới đây:
b. Hàm số y = {\log _a}x
Bảng kết quả khảo sát hàm sốy = {\log _a}x trang 108
GHI NHỚ:
Hàm số y = {\log _a}x
• Có tập hợp xác định là khoảng (0; + \infty ) và tập giá trị là \mathbb{R}
• Đồng biến trên khoảng (0; + \infty )khi a > 1 , nghịch biến trên (0; + \infty ) khi 0 < a < 1;
• Có đồ thị
- Đi qua điểm (1 ;0 ),
- Nằm ở bên phải trục tung,
- Nhận trục tung làm tiệm cận đứng
|