Phương pháp đổi biến số tích phân
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là công thức sau đây
$\int\limits_a^b {f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)dx} = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( u \right)du} $ (1)
Trong đó hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) có liên tục và sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là 2 số thuộc K
Công thức (1) được gọi là công thức đổi biến số
Cách 1: Giả sử ta cần tính $\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $. Nếu ta viết được g(x) dưới dạng $f\left[ {u\left( x \right)} \right]u'\left( x \right)$ thì theo công thức (1) ta có:
$\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} $
Vậy bài toán quy về tính $\int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} $
Cách 2: Giả sử ta cần tính $\int\limits_\alpha ^\beta {f(x)dx} $. Đặt $x = x(t)\,\,\,\,\,\,(t \in K)\& a,b \in K$ thỏa mãn $\alpha = x(a);\beta = x(b)$ thì công thức (1) cho ta:
$\int\limits_\alpha ^\beta {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f\left[ {x(t)} \right]} x'(t)dt$
Vậy bài toán quy về tính $\int\limits_a^b {g(t)dt} $ ( với $g(t) = f\left[ {x(t)} \right]x'(t)$)
|