1. Chứng minh $2^{n-1}(a^{n}+b^{n})>(a+b)^{n}$, với $a+b>0$, $a\neq b$, $n\geq 2$.
2. Chứng minh $\frac{4^{n+1}}{n+2}>\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}$.
3. Cho $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} (n\geq 2)$ là những số không âm, chứng minh
$\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}$.
4. Cho hai bộ số $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$ và $b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}$ $(n\geq 2)$ bất kì. Chứng minh
$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq$ $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $b_{1}=ka_{1}$, với mọi $i=1,..., n$
5. Với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh tồn tại đường tròn chứa đúng $n$ điểm nguyên trong mặt phẳng toạ độ.