pt $\Leftrightarrow $$\begin{cases}x^6+x^2-3=(y+3)^3+(y+3)-3 \\\sqrt{2x+3}+x=y(1) \end{cases}$
Xét hàm $f(u)=u^3+u-3$ ta có $f(u) $ là hàm đơn điệu
nên hệ pt có nghiệm khi và chỉ khi $x^2=y+3(*)$
Giải pt (1)
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}+x=x^2-3$
$\Leftrightarrow 2x+3+\sqrt{2x+3}=x^2+x(2)$
xét hàm $g(v)=v^2+ v$.
$g(v)$ là hàm đơn điệu(vì ta xét $v\geqslant -\frac{3}{2})$
$(2)$có nghiệm khi và chỉ khi $x=\sqrt{2x+3}(x>0)$
$\Leftrightarrow x^2=2x+3\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=6$
vậy hệ pt có nghiệm là $(3;6)$