Em không đăng thì anh cũng sẽ đăng nhỉ :D
BĐT tương đương
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\geq \frac{24(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
$\Leftrightarrow \left[ {\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-8} \right]-8\left[ {\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}-1} \right]\geq 0$$(1)$
ta có $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}-8=\frac{a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2}{abc}$
và $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}-1=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$
do đó $(1)$ có thể viết lại
$Sa(b-c)^2+Sb(c-1)^2+Sc(c-a)^2\geq 0$
trong đó $Sa=\frac{1}{bc}-\frac{8}{(a+b+c)^2} $và $Sb=\frac{1}{ca}-\frac{8}{(a+b+c)^2}$;$Sc=\frac{1}{ab}-\frac{8}{(a+b+c)^2}$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow Sa\geq Sb\geq Sc$
Mặt Khác sử dụng liên tiếp BĐT AM-GM ta có
$Sb+Sc=\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{16}{(a+b+c)^2}\geq \frac{2}{a\sqrt{bc}}-\frac{16}{(a+b+c)^2}\geq \frac{4}{a(b+c)}-\frac{16}{(a+b+c)^2}\geq \frac{16}{[a+(b+c)]^2}-\frac{16}{(a+b+c)^2}=0$
từ đó $\Rightarrow 2Sa\geq 2Sb\geq Sb+Sc\geq 0$ để ý rằng $(a-c)^2\geq (a-b)^2$ ta được
$Sa(b-c)^2+Sb(a-c)^2+Sc(a-b)^2\geq Sb(a-c)^2+Sc(a-b)^2\geq (Sb+Sc)(a-b)^2\geq 0\Rightarrow ĐPCM$
dấu đẳng thức xẩy ra $\Leftrightarrow a=b=c $ hoặc $a=2b=2b$ và các hoán vị tương ứng