Đặt $x=a.\sin t$, biểu thức trở thành:
$A(t)=a^{2}.a.\sin t+a.a.\sin t\sqrt{a^{2}-(a.\sin t)^{2}}$
     $=a^{3}.\sin t+a^{3}.\sin t.\cos t$
     $=a^{3}.\sin t+\frac{a^{3}}{2}.\sin 2t$
$A^{'}(t)=a^{3}.\cos t+a^{3}.\cos 2t=a^{3}(2\cos t+\cos t -1)=0$
$\Leftrightarrow \cos t=-1$ hoặc $\cos t=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \sin t=0$ hoặc $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Tại cận $x=a$ hay $a.\sin t=a \Leftrightarrow \sin t=1\Rightarrow \cos t=0$
Thay các cặp giá trị trên vào $A(t)$ ta thấy $A(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $\sin t=1, \cos t=0$ hay $x=a$.
$min A(t)=a^{3}$

Tự vẽ hình nhé.
a)

Ta có:
$M$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).         $(1)$
Dây cung $DE$ vuông góc với đường kính $AC$ tại $M$ nên $MD=ME$ (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)          $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra tứ giác ADBE là hình thoi (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác này là hình bình hành, đồng thời 2 đường chéo này vuông góc với nhau nên hình bình hành này là hình thoi).

b)

Ta thấy tam giác $ADC$ là tam giác vuông tại $D$(vì có cạnh $AC$ là đường kính của đường tròn $(O)$) $\Rightarrow AD $ vuông góc $DC$           $(3)$
Theo câu a) tứ giác $ADBE$ là hình thoi nên $AD$ song song $EB$.         $(4)$
Từ $(3), (4)$ suy ra $EB$ vuông góc $DC$          $(5)$
Mặt khác, ta có tam giác $IBC$ là tam giác vuông tại $I$ (vì có cạnh $BC$ là đường kính của đường tròn $(O')$) $\Rightarrow BI$ vuông góc $IC$              $(6)$
Từ $(5), (6)$ suy ra $EI$ vuông góc với $DC$ hay tam giác $IDE$ là tam giác vuông tại $I$.
Lại có $M$ là trung điểm của $DE$, do đó $MI=MD=ME=\frac{1}{2}DE$ (Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền).
$\begin{cases}\widehat{O'IB}=\widehat{O'BI}=\widehat{MBE} \\ \widehat{MIE}=\widehat{MEI} \\ \widehat{MEI}+\widehat{MBE}=90^{0} \end{cases}\Rightarrow \widehat{MIE}+\widehat{O'IB}=90^{0}$ hay $MI$ vuông góc $IO'$.
Vậy $MI$ là tiếp tuyến của $(O')$

c)

Ta thấy $ \Delta ADC $ đồng dạng $\Delta BIC$:
$\frac{MC}{AC}=\frac{HC}{BC} \Rightarrow \frac{MC}{AC-MC}=\frac{HC}{BC-HC}\Leftrightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{HC}{HB}\Leftrightarrow \frac{MC}{MB}=\frac{HC}{HB}$ (vì $MA=MB$)
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết