đầu tiên mọi người chứng minh cái này (chắc dễ rồi ạ):
$l_{a}^{2}=\frac{4bc}{(b+c)^{2}}.{p.(p-a)}\leq {p.(p-a)}$ theo BĐT côsi
Suy ra:
$\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{h_{a}.h_{b}.h_{c}}{l_{a}.l_{b}.l_{c}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{8S^{3}}{abc}}{p.\sqrt{p.(p-a)(p-b)(p-c)}}}$
$\geq3 \sqrt[3]{\frac{8S^{2}}{p.abc}}=3\sqrt[3]{\frac{8.abc.pr}{4R.p}}=3\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
lại thấy $2r\leq R$ nên$ \frac{2r}{R}\leq 1$
suy ra: $\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}\geq \sqrt{\frac{2r}{R}}$
vậy $\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}}\geq 3\sqrt{\frac{2r}{R}}$
từ kết quả trên ta có$(\frac{h_{a}}{l_{a}})^{2}+(\frac{h_{b}}{l_{b}})^{2}+(\frac{h_{c}}{l_{c}})^{2}\geq \frac{1}{3}(\frac{h_{a}}{l_{a}}+\frac{h_{b}}{l_{b}}+\frac{h_{c}}{l_{c}})^{2}\geq \frac{6r}{R}$
dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c