Đặt k=$\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$ (k $\epsilon$ Z); $x\geq 0$
-Nếu $x=0\Rightarrow k=0$ (t/m)
-Nếu $x>0$
$\Rightarrow k=\frac{1}{x-3+\frac{3}{\sqrt{x}}}$
Ta có $x+\frac{3}{\sqrt{x}}=x+\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{3}{2\sqrt{x}} \geq  3\sqrt[3]{x.\frac{3}{2\sqrt{x}}.\frac{3}{2\sqrt{x}}}$  (Áp dụng côsi 3 số)
$\Rightarrow x-3+\frac{3}{\sqrt{x}} \geq 3(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)>0$
$\Rightarrow 0<\frac{1}{x-3+\frac{3}{\sqrt{x}}}\leq \frac{1}{3(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)}\approx 1,02<2$
$\Rightarrow 0<k<2$

mà $k \epsilon Z$
$\Rightarrow k=1$

Từ đây tìm được $x=1$ hoặc $x=\frac{(\sqrt{13}-1)^{2}}{4}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Tìm x để $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$ là số nguyên

Cho $A=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1+2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...+\frac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}$.
Chứng minh $a<\frac{2}{5}$

Tìm x để $\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$ là số nguyên

$x\sqrt{2013-y^{2}}+y\sqrt{2013-x^{2}}=2013$
$\Rightarrow x\sqrt{2013-y^{2}}=2013-y\sqrt{2013-x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}(2013^{2}-y^{2})=2013^{2}+y^{2}(2013^{2}-x^{2})-2.2013y\sqrt{2013-x^{2}}$
$\Rightarrow 2013^{2}+y^{2}2013-x^{2}2013-2.2013y\sqrt{2013-x^{2}}=0$
$\Rightarrow y^{2}+(2013-x^{2})-2y\sqrt{2013-x^{2}}=0$
$\Rightarrow (y-\sqrt{2013-x^{2}})^{2}=0$
$\Rightarrow y=\sqrt{2013-x^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2013$