Bạn tự vẽ hình nhé !
a, $*S_{ABCD}=a^2$
$\widehat{SOB}=60^{o}\Rightarrow SO=AOtan60^{o}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
$*V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$
b,$*$ Giả sử $(P)\cap SC=M $
Vì $(P) \bot SC$ và $A\in (P)$ nên $AM\bot SC$
Mặt khác, gọi $EF=(P)\cap (SBD)$ với $E\in SB;F\in SD$ thì $EF//BD$ và $EF$ qua $I$ với $I=AM\cap SO$
(do $BD \bot SC;(P) \bot SC $ nên $BD//(P)$).
$*$Ta thấy mặt phẳng $(P)$ cắt $S.ABCD$ theo tiết diện tứ giác $AEMF$ có tính chất $AM \bot EF$
Do đó $S_{AEMF}=\frac{1}{2}AM.EF$
$*$Ta thấy $\triangle _{SAC}$ đều ( vì $\widehat{SAC}=60^{0},SA=SC$), MÀ $AM \bot SC $ nên $AM=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
Và AM là trung tuyến của tam giác SAC. Mặt khác AO cũng là trung tuyến của tam giác SAC nên I là trọng tâm của tam giác SAC.
$*$ Ta có $\frac{EF}{BD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BD=\frac{2a\sqrt{2}}{3}$
$\Rightarrow S_{AEMF}=\frac{1}{2}AM.EF=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{2a\sqrt{2}}{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$