lại có $(b+c)^2\geq 4bc \Rightarrow 4(b+c)^2.a \geq 16abc$ (đpcm)

PT⟺3x4−4x3=(1−x2+1−−−−−√)(1+x2+1−−−−−√+x2+1)
⟺3x4−4x3=−x21+x2+1−−−−−√.(2+x2+x2+1−−−−−√)
⟺⎡⎣⎢x=03x2−4x+2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√=0

Ta thấy 2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√≥32
Cái này biến đổi tương đương.
Do đó 3x2−4x+2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√≥3x2−4x+32>0 không thỏa mãn phương trình
Do đó phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x=0

PT ⇔ 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=8x3+20012002

Đặt 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=2y

Ta chuyển về hệ đối xứng này {4004x−2001=8y34004y−2001=8x3

Trừ vế theo vế là Xong !!!

PT ⇔ 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=8x3+20012002

Đặt 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=2y

Ta chuyển về hệ đối xứng này {4004x−2001=8y34004y−2001=8x3

Trừ vế theo vế là Xong !!!

Vai trò của a,b,c là như nhau trong bài toán nên ta có thể coi a=max{a,b,c}. Khi đó 3=a+b+c≤3a suy ra 1≤a≤2. Do đó, ta có:

a3+b3+c3≤a3+[b3+c3+3bc(b+c)]=a3+(b+c)3=a3+(3−a)3

Suy ra a3+b3+c3≤9a2−27a+27=9+9(a−1)(a−2)≤9

 a+b+c=0<=>a3+b3+c3=3abc (bạn tự cm nhé)

Áp dụng bổ đề ta có:

(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3

Ta phân tích VT thì:

(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=(y−z)3+(z−x)3+(x−y)3−[(xy−xz)3+(yz−xy)3+(xz−yz)3]=3(x−y)(y−z)(x−z)−3xyz(x−y)(y−z)(x−z)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)

Như vậy:

3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3<=>(1−x3)(1−y3)(1−z3)=(1−xyz)3

Đây là đpcm