Mình chứng minh theo định lý viet nhé:
Xét phương trình $sin^24t=sin^23t$
$\Leftrightarrow cos8t=cos6t\Leftrightarrow t=k\pi\vee t=k\frac{\pi}{7}(k\in Z)$
Ta có $t=0,t=\pm \frac{\pi}{7},t=\pm \frac{2\pi}{7},t=\pm \frac{3\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình
Ta lại có: $sin^4t=sin^23t$
$\Leftrightarrow 4sin^22t.cos^22t=(3sint-4sin^3t)^2$
$\Leftrightarrow 16sin^2t.cos^2t(1-2sin^2t)^2=sin^2t(16sin^4t-24sin^2t+9)$
$\Leftrightarrow sin^2t[16(1-sin^2t)(4sin^4t-4sin^2t+1)-(16sin^4t-24sin^2t+9)]=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} sint=0 (1)\\ 16(1-sin^2t)(4sin^4t-4sin^2t+1)=16sin^4t-24sin^2t+9 (2)\end{matrix}} \right.$
Đặt $x=sin^2t$, phương trình (2) trở thành: $16(1-x)(4x^2-4x+1)=16x^2-24x+9$
$\Leftrightarrow 64x^3-112x^2+56x-7=0$
Ta gọi $x_1=sin^2\frac{2\pi}{7},x_2=sin^2\frac{3\pi}{7},x_3=sin^2\frac{\pi}{7}=sin^2\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình
Theo định lý Viet, ta có:
$x_1.x_2.x_3=sin^2\frac{2\pi}{7}.sin^2\frac{3\pi}{7}.sin^2\frac{6\pi}{7}=\frac{7}{64}$
$x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1=sin^2\frac{2\pi}{7}.sin^2\frac{3\pi}{7}+sin^2\frac{3\pi}{7}.sin^2\frac{6\pi}{7}+sin^2\frac{2\pi}{7}=\frac{56}{64}=\frac{7}{8}$
Từ đó, ta có: $\frac{1}{sin^2\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{sin^2\frac{3\pi}{7}}+\frac{1}{sin^2\frac{6\pi}{7}}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$
$=\frac{x_1.x_2+x_2.x_3+x_3.x_1}{x_1.x_2.x_3}=\frac{7}{8}.\frac{64}{7}=8$ (đpcm)