Trước tiên ta xét khai triển: $(1+x)^n=C^0_n+xC^1_n+x^2C^2_n+...+x^nC^n_n$
Đạo hàm cả 2 vế, ta được:
$n(1+x)^{n-1}=C^1_n+2xC^2_n+...+nx^{n-1}C^n_n$
Nhân cả hai vế với x rồi tiếp tục đạo hàm:
$n(1+x)^{n-2}[1-x+x(n+1)]=C^1_n+2^2xC^2_n+...+n^2x^{n-1}C^n_n$
Thế $x=1$ ta có đpcm.