|
|
giải đáp
|
chiu
|
|
|
|
Điều kiện $x \ge y$ $\bullet y \ge0 $ Ta có $VP(1) \le y(\sqrt{x^2+1}+1)(\sqrt{x^2+1}-1)=yx^2$ $\Rightarrow yx^2 \ge VP=VT=x^3+\sqrt{x-y} \ge x^3\Rightarrow y \ge x$ $\Rightarrow x=y$ $\bullet y<0$ Ta có $VP(1) \le y(\sqrt{y^2+1}+1)(\sqrt{y^2+1}-1)=y^3$ Mà $VT=x^3+\sqrt{x-y} \ge y^3$ Từ đó $\Rightarrow x=y$ Thay vào $pt(2) :x^2(x+1)+x=(3-x)(x+1)\sqrt{(2-x)(x+1)} \quad (2 \ge x \ge -1)$ $\Leftrightarrow x^3+x^2+x=\sqrt{(2-x)(x+1)}^3+x\sqrt{(2-x)(x+1)}+\sqrt{(2-x)(x+1)}$ $\Leftrightarrow x^3+x^2+x=t^3+xt+t\Leftrightarrow (x-t)(x^2+xt+t^2+t+1)=0$ $\Leftrightarrow x=t\Leftrightarrow x=\sqrt{(2-x)(x+1)}$ Tới đây dễ bạn tự giải tiếp
|
|
|
|
giải đáp
|
giải hệ phương trình (giup voi nha)
|
|
|
|
$pt(1)\Leftrightarrow x^2(x-1)-2x\sqrt{x-1}(y+\sqrt[3]y)+(y+\sqrt[3]y)^2=0$ $\Leftrightarrow \bigg(x\sqrt{x-1}-(y+\sqrt[3]y \bigg)^2=0\Leftrightarrow x\sqrt{x-1}=y+\sqrt[3]y$ $\Leftrightarrow \sqrt{x-1}^3+\sqrt{x-1}=y+\sqrt[3]y\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=\sqrt[3]y$ Tới đây dễ rồi bạn tự giải tiếp nha |
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt bằng cách liên hợp, rút 2 nhân tử!
|
|
|
|
$\sqrt{x+2}-(ax+b)=\frac{(x+2)-(ax+b)^2}{\sqrt{x+2}+ax+b}=\frac{-a^2x^2+x(1-2ab)+(2-b^2)}{\boxed{\sqrt{x+2}+ax+b}}$ Chọn $a,b$ sao cho $-a^2=\frac{1-2ab}{2}=2-b^2\Leftrightarrow a=\frac 12,b=\frac 32;a=-\frac 12,b=-\frac 32$ Trong 2 cặp này có 1 cặp làm cho mẫu (đc đóng khung) =0 nên loại ~~~~~ Còn đây là kết quả :$\sqrt{x+2}-\frac{x+3}{2}=\frac{4(x+2)-(x+3)^2}{4\sqrt{x+2}+2(x+3)}=\frac{-(x+1)^2}{4\sqrt{x+2}+2(x+3)}$
|
|
|
|
giải đáp
|
min,max
|
|
|
|
$\frac{x^2-(x-1)}{x+\sqrt{x-1}}+\frac{y^2-(y-2)}{y+\sqrt{y-2}}+\frac{z^2-(z-3)}{z+\sqrt{z-3)}}=12 \\ \Leftrightarrow x-\sqrt{x-1}+y-\sqrt{y-2}+z-\sqrt{z-3}=12 \\ \Leftrightarrow x+y+z-12 =\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3} (\star)$ Đặt $t=x+y+z (t \ge 12)$ Từ $(\star)\Rightarrow t-12 \le \sqrt{3(t-6)}\Leftrightarrow 6 \le t \le 18\Rightarrow \max_{t \ge 12} t=18$ Từ $(\star)\Rightarrow (t-12)^2=t-6+2\left(\sqrt{(x-1)(y-2)}+\sqrt{(y-2)(z-3)}+\sqrt{(z-3)(x-1} \right)$ $\ge t-6\Leftrightarrow t^2-24t+144 \ge t-6\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} t \ge 15\\ t \le 10 \end{array} \right.\Rightarrow \min_{t\ge 12} t=15$ $KL: GTLN=18\Leftrightarrow (x,y,z)=(5,6,7)$ $GTNN=15\Leftrightarrow (x,y,z)=\{(1;2;12);(1,11,3);(10,2,3)\}$ |
|
|
|
giải đáp
|
giúp e vs lm nhanh nha
|
|
|
|
KMTTQ, giả sử $x \ge y \ge z$ Khi đó $\frac{x}{y+z} \ge \frac{y}{z+x} \ge \frac{z}{x+y},\frac{x^2}{y^2+z^2} \ge \frac{y^2}{z^2+x^2} \ge \frac{z^2}{x^2+y^2}$ Áp dụng bdt Chebychev cho 3 dãy đơn điệu cùng chiều, ta có $9\left(x.\frac{x}{y+z}.\frac{x^2}{y^2+z^2}+y.\frac{y}{z+x}.\frac{y^2}{z^2+x^2}+z.\frac{z}{x+y}.\frac{z^2}{x^2+y^2} \right)\\ \ge (x+y+z)\left( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)\left( \frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2} \right) \\\overset{Nesbit}\ge 3.\frac 32.\frac 32\Leftrightarrow VT \ge \frac 34$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
giúp e vs lm nhanh nha
|
|
|
|
1) Đưa bdt về chứng minh $\left( \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \right)(x+y+z) \ge 3(x^2+y^2+z^2)$ $\Leftrightarrow \frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge 2(x^2+y^2+z^2)$ Dễ dàng chứng minh $\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge xy+yz+zx$ Từ đó áp dụng bdt cosi 3 cặp số => dpcm |
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt bằng cách liên hợp, rút 2 nhân tử!
|
|
|
|
1) Làm mẫu biểu thức $(2x+3)\sqrt{2x+3}$ Giả sử như ta thêm bớt lượng liên hợp như sau $\bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b) \bigg]+(ax+b)$ Ta chỉ quan tâm đến phần ngoặc vuông và nhiệm vụ là phải tìm ra $a,b$ Để có được nhân tử $(x+1)(x-3)$ thì khi thay $x=-1$ hoặc $ x=3$ thì $A=(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b)=0\Leftrightarrow (2x+3)\sqrt{2x+3}=ax+b \quad (*)$ Thế $x=-1,x=3$ vào $(*)$ ta thu đc hpt $\begin{cases}-a+b=1 \\ 3a+b=27 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{13}2 \\ b=\frac{15}2 \end{cases} (ok)$ Tương tự cho $(x+2)\sqrt{x+1}$ ta thu đc $a=b=\frac 52$ Vì vậy ta tách như sau $pt\Leftrightarrow \bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-\frac{13x+15}{2} \bigg]-\bigg[(x+2)\sqrt{x+1}-\frac{5x+5}{2} \bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\left[\frac{32x+29}{(2x+3)\sqrt{2x+3}+\dfrac{13x+15}{2}}-\frac{4x+3}{(x+2)\sqrt{x+1}+\dfrac{5x+5}{2}}\right]=0$ Cách khác: $pt\Leftrightarrow \bigg(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}-1 \bigg)\bigg(3x+4+\sqrt{(2x+3)(x+1)}+\sqrt{x+1} \bigg)=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1\\ x=3 \end{array} \right.$ |
|
|
|
giải đáp
|
bài toán đố
|
|
|
|
Đánh số thứ tự các dữ kiện lần lượt từ $(1) \to (9)$ $(5)\Rightarrow e=5 $ $(2),(4),(6),(8)\Rightarrow b,d,f,h \;\text{chẵn}\Rightarrow c,g,i \; \text{lẻ} $ $(4)\Rightarrow \overline{cd} \; \vdots \; 4$. Mà $c$ lẻ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d=2\\d=6 \end{array} \right.$ $(8)\Rightarrow \overline{fgh} \; \vdots \; 8\Rightarrow \overline{gh} \; \vdots \; 8$ (do $f$ chẵn ) $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} h=2\\h=6\end{array} \right.$ (do $g$ lẻ) $(3),(6)\Rightarrow d+e+f \; \vdots \; 3$ $\Rightarrow $Nếu $d=2$ thì $f=8$, nếu $d=6$ thì $f=4$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d=2,f=8,h=6,b=4\\ d=6,f=4,h=2,b=8 \end{array} \right.$ Kết hợp với $(3)$ và thử từng trường hợp ta thu đc nghiệm duy nhất: $$381654729$$ |
|
|
|
giải đáp
|
Start!!!hệ dễ...
|
|
|
|
Đk $x\ge 1$ $pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$ Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x $(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)
Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$ Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$ Do đó $VT=VP=2$ Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$ Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$ |
|
|
|
giải đáp
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
Ta có $P-2-\sqrt{\frac 12}= \left( \sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2+z^2}}-2 \right)+ \left(\sqrt{\frac{z^2+xy}{x^2+y^2}}-\sqrt{\frac12} \right)$ $=\frac{\big(\sqrt{x^2+z^2}-\sqrt{y^2+z^2}\big)^2}{\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+z^2)}}+\frac{2\sqrt{z^2+xy}-\sqrt{x^2+y^2}}{2\sqrt{x^2+y^2}}$ $=\tfrac{(x^2-y^2)^2}{\big(\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+z^2} \big)^2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+z^2)}}+\tfrac{2z^2-(x-y)^2}{2\big(2\sqrt{z^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2} \big)\sqrt{x^2+y^2}}$ $=(x-y)^2\Bigg(\tfrac{(x+y)^2}{\big(\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+z^2} \big)^2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+z^2)}}-\tfrac{1}{2\big(2\sqrt{z^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2} \big)\sqrt{x^2+y^2}} \Bigg)+\tfrac{z^2}{\big(2\sqrt{z^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2} \big)\sqrt{x^2+y^2}}$ Dễ dàng cm biểu thức trong ngoặc lớn $>0$ do $x \ge y \ge z$ Từ đó suy ra $\min P=2+\sqrt{\frac{1}{2}}\Leftrightarrow x=y,z=0$ |
|
|
|
giải đáp
|
giúp
|
|
|
|
Điều kiện $y \ge 0,x+2 \ge0$ $\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+12}\\=\sqrt{2(x+2-y)^2+2(x+2+y)} \ge \sqrt{2(x+2+y)} \ge \sqrt{x+2}+\sqrt y$ Từ đó dễ dàng thấy $pt(2)\Leftrightarrow y=x+2$ Thế $y=x+2$ vào $pt(1): \sqrt{x^2-4x+13}-\sqrt[3]{x^2-4x+12}=1$ Đặt $\begin{cases}x^2-4x+12=z^3 \\ x^2-4x+13=t^2 \end{cases}$ Dễ thấy $z^3=(x-2)^2+8 \ge 8\Leftrightarrow z \ge 2$ Và $ \begin{cases}t-z=1 \\ t^2-z^3=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t=z+1 \\ z^3+1-(z+1)^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=z+1 \\ z(z+1)(z-2)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=3 \\ z=2 \end{cases}\Leftrightarrow x=2$ Vậy $(x;y)=(2;4)$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|