|
|
giải đáp
|
min,max
|
|
|
|
$\frac{x^2-(x-1)}{x+\sqrt{x-1}}+\frac{y^2-(y-2)}{y+\sqrt{y-2}}+\frac{z^2-(z-3)}{z+\sqrt{z-3)}}=12 \\ \Leftrightarrow x-\sqrt{x-1}+y-\sqrt{y-2}+z-\sqrt{z-3}=12 \\ \Leftrightarrow x+y+z-12 =\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3} (\star)$ Đặt $t=x+y+z (t \ge 12)$ Từ $(\star)\Rightarrow t-12 \le \sqrt{3(t-6)}\Leftrightarrow 6 \le t \le 18\Rightarrow \max_{t \ge 12} t=18$ Từ $(\star)\Rightarrow (t-12)^2=t-6+2\left(\sqrt{(x-1)(y-2)}+\sqrt{(y-2)(z-3)}+\sqrt{(z-3)(x-1} \right)$ $\ge t-6\Leftrightarrow t^2-24t+144 \ge t-6\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} t \ge 15\\ t \le 10 \end{array} \right.\Rightarrow \min_{t\ge 12} t=15$ $KL: GTLN=18\Leftrightarrow (x,y,z)=(5,6,7)$ $GTNN=15\Leftrightarrow (x,y,z)=\{(1;2;12);(1,11,3);(10,2,3)\}$ |
|
|
|
giải đáp
|
giúp e vs lm nhanh nha
|
|
|
|
KMTTQ, giả sử $x \ge y \ge z$ Khi đó $\frac{x}{y+z} \ge \frac{y}{z+x} \ge \frac{z}{x+y},\frac{x^2}{y^2+z^2} \ge \frac{y^2}{z^2+x^2} \ge \frac{z^2}{x^2+y^2}$ Áp dụng bdt Chebychev cho 3 dãy đơn điệu cùng chiều, ta có $9\left(x.\frac{x}{y+z}.\frac{x^2}{y^2+z^2}+y.\frac{y}{z+x}.\frac{y^2}{z^2+x^2}+z.\frac{z}{x+y}.\frac{z^2}{x^2+y^2} \right)\\ \ge (x+y+z)\left( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)\left( \frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2} \right) \\\overset{Nesbit}\ge 3.\frac 32.\frac 32\Leftrightarrow VT \ge \frac 34$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$
|
|
|
|
giải đáp
|
giúp e vs lm nhanh nha
|
|
|
|
1) Đưa bdt về chứng minh $\left( \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \right)(x+y+z) \ge 3(x^2+y^2+z^2)$ $\Leftrightarrow \frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}+\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge 2(x^2+y^2+z^2)$ Dễ dàng chứng minh $\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x} \ge xy+yz+zx$ Từ đó áp dụng bdt cosi 3 cặp số => dpcm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải pt bằng cách liên hợp, rút 2 nhân tử!
|
|
|
|
1) Làm mẫu biểu thức $(2x+3)\sqrt{2x+3}$ Giả sử như ta thêm bớt lượng liên hợp như sau $\bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b) \bigg]+(ax+b)$ Ta chỉ quan tâm đến phần ngoặc vuông và nhiệm vụ là phải tìm ra $a,b$ Để có được nhân tử $(x+1)(x-3)$ thì khi thay $x=-1$ hoặc $ x=3$ thì $A=(2x+3)\sqrt{2x+3}-(ax+b)=0\Leftrightarrow (2x+3)\sqrt{2x+3}=ax+b \quad (*)$ Thế $x=-1,x=3$ vào $(*)$ ta thu đc hpt $\begin{cases}-a+b=1 \\ 3a+b=27 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{13}2 \\ b=\frac{15}2 \end{cases} (ok)$ Tương tự cho $(x+2)\sqrt{x+1}$ ta thu đc $a=b=\frac 52$ Vì vậy ta tách như sau $pt\Leftrightarrow \bigg[(2x+3)\sqrt{2x+3}-\frac{13x+15}{2} \bigg]-\bigg[(x+2)\sqrt{x+1}-\frac{5x+5}{2} \bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x+1)(x-3)\left[\frac{32x+29}{(2x+3)\sqrt{2x+3}+\dfrac{13x+15}{2}}-\frac{4x+3}{(x+2)\sqrt{x+1}+\dfrac{5x+5}{2}}\right]=0$ Cách khác: $pt\Leftrightarrow \bigg(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}-1 \bigg)\bigg(3x+4+\sqrt{(2x+3)(x+1)}+\sqrt{x+1} \bigg)=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=\sqrt{x+1}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-1\\ x=3 \end{array} \right.$ |
|
|
|
bình luận
|
bài toán đố
$381654729/9 = 42.406.081\\ 38165472/8 = 477.068\\ 3816547/7 = 545.221\\ 381654/6 = 63.609\\ 38165/5 = 7633\\ 3816/4 = 954\\ 381/3 = 127\\38/2 = 19\\ 3/1 = 3$
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
bài toán đố
|
|
|
|
Đánh số thứ tự các dữ kiện lần lượt từ $(1) \to (9)$ $(5)\Rightarrow e=5 $ $(2),(4),(6),(8)\Rightarrow b,d,f,h \;\text{chẵn}\Rightarrow c,g,i \; \text{lẻ} $ $(4)\Rightarrow \overline{cd} \; \vdots \; 4$. Mà $c$ lẻ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d=2\\d=6 \end{array} \right.$ $(8)\Rightarrow \overline{fgh} \; \vdots \; 8\Rightarrow \overline{gh} \; \vdots \; 8$ (do $f$ chẵn ) $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} h=2\\h=6\end{array} \right.$ (do $g$ lẻ) $(3),(6)\Rightarrow d+e+f \; \vdots \; 3$ $\Rightarrow $Nếu $d=2$ thì $f=8$, nếu $d=6$ thì $f=4$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} d=2,f=8,h=6,b=4\\ d=6,f=4,h=2,b=8 \end{array} \right.$ Kết hợp với $(3)$ và thử từng trường hợp ta thu đc nghiệm duy nhất: $$381654729$$ |
|
|
|
sửa đổi
|
Start!!!hệ dễ...
|
|
|
|
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x<y,VT(*)<x(x+1)+(y+1)=VP(*)$$(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$Do đó $VT=VP=1$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x$(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$Do đó $VT=VP=2$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Start!!!hệ dễ...
|
|
|
|
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x $(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$Do đó $VT=VP=1$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x<y,VT(*)<x(x+1)+(y+1)=VP(*)$$(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$Do đó $VT=VP=1$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Start!!!hệ dễ...
|
|
|
|
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x <y,VT(*) <x(x+1)+(y+1)=VP(*)$$(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 1,VP \le 1$Do đó $VT=VP=1$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
Đk $x\ge 1$$pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x $(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$$\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$Do đó $VT=VP=1$Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Start!!!hệ dễ...
|
|
|
|
Đk $x\ge 1$ $pt(1)\Leftrightarrow x\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}=(x+1)^2-(x-y) \quad (*)$ Ta có $x\ge y $ vì Nếu $x $(*)\Leftrightarrow \Bigg[(x+1)\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}-(x+1)^2 \Bigg]+(x-y)+\Bigg[\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}-\sqrt{(x+1)^2+(x-y)^2} \Bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x-y)\Bigg[\tfrac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}+(x+1)}+1-\tfrac{x+y+2}{\sqrt{(y+1)^2+(x-y)}+\sqrt{(x+1)^2+(x-y)}} \Bigg]=0$ $\Leftrightarrow (x-y).A=0\Leftrightarrow x=y$ ($A>0$ do $x\ge y$)
Thế $x=y$ vào $pt(2):\sqrt{2(x^2+1)}+\sqrt{x^3+x-2}=1+\sqrt{-(x-1)(2x^2-x+4)+1}$ Với đk $x\ge 1$,Dễ thấy $VT \ge 2,VP \le 2$ Do đó $VT=VP=2$ Có dấu bằng xảy ra khi $x=1$ Nghiệm : $(x,y)=(1,1)$ |
|