Đặt: $\sqrt[3]{\cos \frac{A}{2}}=a; \sqrt[3]{\sin \frac{A}{2} }=x$ Tương tự với b,c và y,z
Khi đó ta cần CM: $\sqrt[3]{2}(ax+by+cz)\le a+b+c$
Thật vậy, không mất tính tổng quát Giả sử
$A\ge B\ge C \Rightarrow a\le b\le c$ và $x\ge y \ge z$
Áp dụng BĐT Chê-bư-sếp
$VT\le \frac{\sqrt[3]{2}}{3}(a+b+c)(x+y+z)$
Mặt khác ta chứng minh 2 bổ đề:
$x+y+z\le \sqrt[3]{9(x^3+y^3+z^3)}$ (BĐT Holder)
$x^3+y^3+z^3 \le \frac{3}{2}$ (BĐt lượng giác rất quen)
Vậy ta có đpcm