Dùng phản chứng để chứng minh:
G/s đpcm là sai, do vậy, ta có:
$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>a+b-2\sqrt{ab}$
$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>b+c-2\sqrt{bc}$
$\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}>c+a-2\sqrt{ca}$
Cộng lại có:
$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}>2[(a+b+c)-(\Sigma \sqrt{ab})]$
$\rightarrow $Ta cần c/m:
$a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\leq 2[(a+b+c)-(\Sigma \sqrt{ab}]$
Vì BĐT trên là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa, cho $abc=1.$
Khi đó BĐT trở thành:
$2(\Sigma \sqrt{ab})-a-b-c\leq 3$
Theo bác Schur, ta luôn có, $\forall x,y,z>0$ thì:
$2(\Sigma xy)-x^2-y^2-z^2\leq \frac{9xyz}{x+y+z}\leq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
$\Rightarrow ....................$