lâu lâu mới hỏi 1 câu ngu gì k làm hộ :) $\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

$\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

Phương trình vô tỉ

$\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

lâu lâu mới hỏi 1 câu ngu gì k làm hộ :) $\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^2+16}$

Phương trình vô tỉ

http://diendantoanhoc.net/topic/96057-2sqrt2x44sqrt2-xsqrt9x216/

Cách biến đổi khác:ĐK: $|x|\leq 2.$PT tương đương:$4(2x+4)+16\sqrt{2(4-x)}+16(2-x)=9x^2+16$$\Leftrightarrow 8(4-x^2)+16\sqrt{2(4-x^2)}=x^2+8x$Đặt: $t=\sqrt{2(4-x^2)}$PT trở thành:$4t^2+16t-x^2-8x=0$Coi pt ẩn t, tham số x, ta được:$\left\{ \begin{array}{l} t_1=\frac{x}{2}\\ t_2=-\frac{x}{2}-4 \end{array} \right.$Do đk $x$ nên $t_1$ thỏa mãn.$\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geq 0\\ 8(4-x^2)=x^2 \Leftrightarrow \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4\sqrt{2}}{3}$ là nghiệm của pt./

Theo công thức hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \frac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}$$\overset{(2)}{\le} \frac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$ Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$$3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay

Theo công thức Hê-rông$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \frac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}$$\overset{(2)}{\le} \frac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$ Nên ta chỉ cần chứng minh $xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$hay:$3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$Ko mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$Theo bdt Chebysev:$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$~~~~~~~~~~~~~~~$(1)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/121614/cm-bdt $(2)$:http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/130352/bat-dang-thuc-dep-nay