Cái này ý tưởng cx hơi giống cách $1$ ( cách xanh lá ý ), chỉ là biến đổi khác :((
Ta có:
$......\Leftrightarrow \frac{k}{a^3+b^3}-\frac{4k}{(a+b)^3}+\frac{1}{a^3}-\frac{8}{(a+b)^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{8}{(a+b)^3}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a-b}{(a+b)^3}.(\frac{7b^2+4ab+a^2}{b^3}-\frac{7a^2+4ab+b^2}{a^2})-\frac{3k(a-b)^2a+b)}{(a^3+b^3)(a+b)^2}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a^4+5a^3b+12a^2b^2+5ab^3+b^4)}{a^3b^3}-\frac{3k(a-b)^2}{a^2-ab+b^2}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2$[$(a^4+5a^3b+12a^2b^2+5ab^3+b^4)(a^2-ab+b^2)-3ka^3b^3]$ $\geq 0$
$\Rightarrow $ đỏ $\geq 0.(*)$
Cho $a=b$ thì $(*)$ trở thành .........$\Leftrightarrow k\leq 8.$
Vậy ta c/m $k=8$ là hằng số tốt nhứt thỏa mãn.
Thật vậy, với $k=8$ thì $(*)$ có dạng:
$(a^4+5a^3b..............)-24a^3b^3\geq 0$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} a^4+b^4\geq 2a^2b^2\\ a^2+b^2\geq 2ab\end{array} \right.$
$\rightarrow a^4+....+b^4=a^4+b^4+5ab(a^2+b^2)+12a^2b^2\geq 24a^2b^2$
mà $a^2-ab+b^2\geq ab$
$\Rightarrow .............\Rightarrow (*)$ lđ!
$ \Rightarrow ....................$
Note: