Câu 5:
Cần c/m: $a+b+c\leq 3$ với $a^2+b^2+c^2+abc=4$
Bắt đầu từ BĐT cơ bản sau:
$\Sigma a^2+2abc+1\geq 2(\Sigma ab)(*)$
Ta có:
$2\Sigma a^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$
$\rightarrow (a+b+c)^2\leq 4.2+1=9\Rightarrow ...........đpcm$
Chứng minh (*)
G/s trong 3 số có ít nhất 2 số cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$
Cho $(a-1)(b-1)\geq 0$
Xét hiệu:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$
$=(c-1)^2+(a-b)^2+2c(a-1)(b-1) \geq 0$ (lđ)
( do $a,b,c$ là các số ko âm)
Vậy (*) đc c/m!