Ta viết bất phương trình đã cho dưới dạng tương đương sau:
$\frac{2y+7}{y(y+7)}-\frac{2y+7}{(y+1)(y+6)}+\frac{2y+7}{(y+2)(y+5)}-\frac{2y+7}{(y+3)(y+4)}>0$
hay $(2y+7)(\frac{1}{y^2+7y}-\frac{1}{y^2+7y+6}+\frac{1}{y^2+7y+10}-\frac{1}{y^2+7y+12}>0$
ộng các phân thức theo cặp trong dấu ngoặc ta được:
$(2y+7)(\frac{3}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)}\frac{3}{(y^2+7y+10)(x^2+7y+12)}>0$

hay $(2y+7)\frac{4(y^2+7y)+72(y^2+7y+360}{(y^2+7y)(y^2+7y+6)(y^2+7y+10)(y^2+7y+12)}>0$            (*)
Vì bất phương trình $4(y^2+7y)+72(y^2+7y+360>0$ với mọi y nên  (*) tương đương với phương trình
$\frac{2y+7}{y(y+1)(y+2)(y+3)(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)}>0$
Tức là 
$y(y+1)(y+2)(y+3)(y+\frac{7}{2})(y+4)(y+5)(y+6)(y+7)>0$
Áp dụng cách xét dấu của nhị thức bặc nhất $ax+b   (a\neq 0)$ ta sẽ được kết quả là hợp của tập các khoảng sau:
$(-7;-6)\cup (-5;-4)\cup (-\frac{7}{2};-3)\cup (-2;-1)\cup (0;+\infty )$

Để cho gọn ta có thể viết:
$\frac{z+1}{z-1}=1+\frac{2}{z-1}; \frac{z-2}{z+2}=1-\frac{4}{z+2}$
$\frac{z-3}{z+3}=1-\frac{6}{z+3}; \frac{z+4}{z-4}=1+\frac{8}{z-4}$
Do đó phương trình đã cho có dạng gọn hơn:
$\frac{1}{z-1}-\frac{2}{z+2}-\frac{3}{z-3}+\frac{4}{z-4}=0$
Sau khi biến đổi ta được phương trình: $\frac{5z-8}{(z-1)(z-4)}=\frac{5z+12}{(z+2)(z+3) }$
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ : $$\begin{cases}(5z-8)(z+2)(z+3)=(5z+12)(z-1)(z-4) \\ (z-1)(z-4)(z+2)(z+3)\neq 0 \end{cases}$$
Phương trình thứ nhất sau khi làm phép tính có dạng $z^{2}+z-\frac{16}{5}=0$
Giải ra ta được $z_{1,2}=\frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{\frac{69}{5}})$
Các nghiệm cũng thỏa mãn điều kiện thứ hai nên chúng là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Trước tiên ta tìm $D = \left| \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,a \end{array} \right|=a^{2}-1$
$D_{x} = \left| \begin{array}{l} a^{2}\,\,\,\,1\\ 1\,\,\,\,\,\,a \end{array} \right|=a^{3}-1;          D = \left| \begin{array}{l} a\,\,\,\,\,\,a^{2}\\ 1\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right|=a-a^{2}$
Nếu $a\neq \pm 1$ thì $D\neq 0$. Hệ có nghiệm duy nhất
$x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{a^{3}-1}{a^{2}-1}=\frac{a^{2}+a+1}{a+1};   y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{a-a^{2}}{a^{2}-1}=\frac{a}{a+1}$
Nếu  $a=1$ thì $D=D_{x}=D_{y}$. Hệ có dạng $\begin{cases}x+y=1 \\x+ y=1 \end{cases}$ nên nghiệm là $x=p, y=1-p$  ( $p$ là bất kì số thực nào )
Nếu $a=-1$ thì $D=0, D_{x}\neq 0$, hệ đã cho vô nghiệm

1. Đặt $x=\cos t$ với $0<t<\pi$, suy ra $\begin{cases}dx=-\sin t  dt. \\ t=\arccos x \end{cases}$
Khi đó:
      $\int\limits \frac{dx}{\sqrt{1-x^2} }=-\int\limits \frac{\sin t dt }{\sin t} =-\int\limits dt=-t+C=-\arccos x+C$
2. Đặt $x=\sin t$ với $-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$, suy ra $dx=\cos t dt$
Khi đó :
      $\int\limits \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3} }= \int\limits \frac{\cos tdt}{\cos ^3t}=\tan t+C=\frac{\sin t}{\cos t}+C=\frac{x}{\sqrt{1-x^2} }+C$.

Tìm nguyên hàm của các hàm số:
1. $\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }$                          2. $\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3} }$

1. Ta biến đổi:
         $\int\limits \frac{dx}{1+\cos 2x}=\frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\cos ^2x}=\frac{1}{2}\tan x+C$
2. Đặt  $u=\tan \frac{x}{2}$, suy ra:
         $du=\frac{1}{2}\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2} } dx=\frac{1}{2}(1+\tan^2 \frac{x}{2})dx=\frac{1}{2}(1+u^2)dx \Rightarrow  dx=\frac{2du}{1+u^2}$
Khi đó:
         $\int\limits \frac{dx}{\sin x} =\int\limits \frac{\frac{2du}{1+u^2} }{\frac{2u}{1+u^2} } =\int\limits \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\tan \frac{x}{2} |+C$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1. $f(x)= \frac{1}{1+\cos 2x}$
2. $f(x)=\frac{1}{\sin x}$

Ta thực hiện phép biến đổi:
        $\int\limits \sin^3x. \sqrt{\cos x}.dx=\int\limits \sin^2x .\sqrt{\cos x}.sin x.dx=\int\limits (1-\cos^2x).\sqrt{\cos x}.sin x.dx$
Đặt $t=\sqrt{\cos x}$, suy ra:
        $t^2=\cos x \Rightarrow  2tdt=-\sin x.dx \Leftrightarrow -2tdt=\sin x.dx$
Khi đó
        $\int\limits \sin^3x \sqrt{\cos x}dx=\int\limits (1-t^4).t.(-2tdt)=2 \int\limits (t^6-t^2)dt$
                                    $=2(\frac{1}{7}t^7-\frac{1}{3}t^3)+C=\frac{2}{21}(3t^6-7t^2)t+C= \frac{2}{21}(3\cos^3x-7\cos x)\sqrt{\cos x}+C$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
$f(x)=\sin^3x \sqrt{\cos x}$