$\widehat{EDQ}=\widehat{EDP}=\widehat{DAE}$ (2)
từ (1, 2) $\Rightarrow$ AEDQ là hình thang cân
$\Rightarrow AQ//DE$ , mà DE$\perp$PQ
$\Rightarrow AQ\perp QP$

*Thay đổi cách dựng hình theo đề bài trên thành như sau
+Lấy điểm D trên trung trực BQ
+Trên BC lấy điểm P sao cho tam giác BDP cân tại D
+BD cắt trung trực BC tại A
bài toán trở thành dựng điểm D sao cho AQ vuông góc PQ

*Chứng minh, ta sẽ ch minh Q đối xứng với P qua DE, với P thuộc BC và PD//AC và PE//AB theo cách dựng trên
có DQ =DB =DP  (1)
kẻ đường thẳng qua D vuông góc PQ cắt AC tại E', cắt AP tại G (2)
(1, 2)$\Rightarrow$ E'D là trung trực PQ (3)
từ (3) và$\widehat{AQP}={90}^{\circ }\Rightarrow$ G là trung điểm AP
$\Rightarrow △GDP=△G{E}^{\prime }A$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ ADPE' là hình bình hành $\Rightarrow$ PE' //AB
$\Rightarrow$ E' trùng E (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow$ đpcm

*Giải
có B, Q$\Rightarrow$ pt trung trực BQ là y =0
$\Rightarrow$ tọa độ $D=(d,0)$
có A thuộc trung trực BC $\Rightarrow A=(a,2a)$
$\overrightarrow{BD}=(d+2,-1)$
$\overrightarrow{BA}=(a+2,2a-1)$
có $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BA}$ cộng tuyến
$\Rightarrow$ (d +2)(2a -1) =-(a +2)
$\iff$ (2d +5) .a =d (5)
nếu 2d +5 =0$\Rightarrow 0=-\frac{5}{2}$ (vô lí)
$\Rightarrow$ $2d+5\ne 0$
(5)$\Rightarrow a=\frac{d}{2d+5}$
$\Rightarrow A=(\frac{d}{2d+5},\frac{2d}{2d+5})$
$\Rightarrow \overrightarrow{QA}=(\frac{5d+10}{2d+5},\frac{4d+5}{2d+5})$
Hạ DF vuông góc BC tại F
F thuộc BC$\Rightarrow$ F=(-2 +4t, 1 -2t)
$\Rightarrow \overrightarrow{FD}=(d+2-4t,2t-1)$
$\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{BC}=0$
$\Rightarrow$4(d +2 -4t) -2(2t -1) =0
$\Rightarrow t=\frac{2d+5}{10}$
$\Rightarrow F=(\frac{4d}{5},-\frac{2d}{5})$
P đối xứng với B qua F$\Rightarrow P=(\frac{8d+10}{5},-\frac{4d+5}{5})$
$\overrightarrow{QP}=(\frac{8d+20}{5},-\frac{4d}{5})$
có $\overrightarrow{QA}.\overrightarrow{QP}=0$
$\Rightarrow (5d+10)(8d+20)-(4d+5)4d=0$
$\Rightarrow 3d^2+20d+25=0$
$\Rightarrow [\begin{array}{c}d=-5\\ d=-\frac{5}{3}\end{array}$
+d=-5
$\Rightarrow P=(-6,3)$
$\Rightarrow$loại d =-5 vì P nằm ngoài đoạn BC
+d=$-\frac{5}{3}$
$\Rightarrow P=(-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$
P nằm giữa B, C $\Rightarrow d=-\frac{5}{3}$ thỏa mãn
$\Rightarrow A=(-1,-2)$

$\widehat{EDQ}=\widehat{EDP}=\widehat{DAE}$ (2)
từ (1, 2) $\Rightarrow$ AEDQ là hình thang cân
$\Rightarrow AQ//DE$ , mà DE$\perp$PQ
$\Rightarrow AQ\perp QP$

*Thay đổi cách dựng hình theo đề bài trên thành như sau
+Lấy điểm D trên trung trực BQ
+Trên BC lấy điểm P sao cho tam giác BDP cân tại D
+BD cắt trung trực BC tại A
bài toán trở thành dựng điểm D sao cho AQ vuông góc PQ

*Chứng minh, ta sẽ ch minh Q đối xứng với P qua DE, với P thuộc BC và PD//AC và PE//AB theo cách dựng trên
có DQ =DB =DP  (1)
kẻ đường thẳng qua D vuông góc PQ cắt AC tại E', cắt AP tại G (2)
(1, 2)$\Rightarrow$ E'D là trung trực PQ (3)
từ (3) và$\widehat{AQP}={90}^{\circ }\Rightarrow$ G là trung điểm AP
$\Rightarrow △GDP=△G{E}^{\prime }A$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ ADPE' là hình bình hành $\Rightarrow$ PE' //AB
$\Rightarrow$ E' trùng E (4)
từ (3, 4)$\Rightarrow$ đpcm

*Giải
có B, Q$\Rightarrow$ pt trung trực BQ là y =0
$\Rightarrow$ tọa độ $D=(d,0)$
có A thuộc trung trực BC $\Rightarrow A=(a,2a)$
$\overrightarrow{BD}=(d+2,-1)$
$\overrightarrow{BA}=(a+2,2a-1)$
có $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BA}$ cộng tuyến
$\Rightarrow$ (d +2)(2a -1) =-(a +2)
$\iff$ (2d +5) .a =d (5)
nếu 2d +5 =0$\Rightarrow 0=-\frac{5}{2}$ (vô lí)
$\Rightarrow$ $2d+5\ne 0$
(5)$\Rightarrow a=\frac{d}{2d+5}$
$\Rightarrow A=(\frac{d}{2d+5},\frac{2d}{2d+5})$
$\Rightarrow \overrightarrow{QA}=(\frac{5d+10}{2d+5},\frac{4d+5}{2d+5})$
Hạ DF vuông góc BC tại F
F thuộc BC$\Rightarrow$ F=(-2 +4t, 1 -2t)
$\Rightarrow \overrightarrow{FD}=(d+2-4t,2t-1)$
$\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{BC}=0$
$\Rightarrow$4(d +2 -4t) -2(2t -1) =0
$\Rightarrow t=\frac{2d+5}{10}$
$\Rightarrow F=(\frac{4d}{5},-\frac{2d}{5})$
P đối xứng với B qua F$\Rightarrow P=(\frac{8d+10}{5},-\frac{4d+5}{5})$
$\overrightarrow{QP}=(\frac{8d+20}{5},-\frac{4d}{5})$
có $\overrightarrow{QA}.\overrightarrow{QP}=0$
$\Rightarrow (5d+10)(8d+20)-(4d+5)4d=0$
$\Rightarrow 3d^2+20d+25=0$
$\Rightarrow [\begin{array}{c}d=-5\\ d=-\frac{5}{3}\end{array}$
+d=-5
$\Rightarrow P=(-6,3)$
$\Rightarrow$loại d =-5 vì P nằm ngoài đoạn BC
+d=$-\frac{5}{3}$
$\Rightarrow P=(-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$
P nằm giữa B, C $\Rightarrow d=-\frac{5}{3}$ thỏa mãn
$\Rightarrow A=(-1,-2)$