Đặt phương trình dao động của 2 vật M, N lần lượt là
      $x_M = 6 \cos (\omega t + \varphi _M)$
      $x_N = 8 \cos (\omega t + \varphi _N)$

Khoảng cách giữa 2 vật:
      $l = 6 \cos (\omega t + \varphi _M) - 8 \cos (\omega t + \varphi _N)$
Tại $l$ đạt cực đại đạo hàm của nó bằng $0$ $\Leftrightarrow l' = 0$
      $-\omega 6 \sin (\omega t + \varphi _M) + 8 \omega \sin (\omega t + \varphi _N) = 0$
      $6 \sin (\omega t + \varphi _M)  = 8 \sin (\omega t + \varphi _N)$

Vì 2 vật có chu kì giống nhau, trạng thái của 2 vật lặp lại sau mỗi chu kỳ, nên mốc ta có thể chọn mốc thời gian tùy ý cho chuyển động của 2 vật.
Chọn mốc thời gian sao cho tại thời điểm $t = 0$, 2 vật có khoảng cách lớn nhất
      $6 \sin (\varphi _M)  = 8 \sin (\varphi _N)$
Ta có $l = |6 \cos (\varphi _M) - 8 \cos (\varphi _N)| = 10$
      $|6 \cos \varphi_M - 8 \sqrt{1- \sin ^2 \varphi_N} | = 10$
      $|6 \cos \varphi_M - 8 \sqrt{1- (\frac{6\sin \varphi_M}{8})^2} | = 10$
      $|6 \cos \varphi_M - \sqrt{8^2- 6^2 \sin^2 \varphi_M} | = 10$
      $|6 \cos \varphi_M - \sqrt{28 + 6^2 \cos^2 \varphi_M} | = 10$
      $\sqrt{28 + 6^2 \cos^2 \varphi_M} - 6 \cos \varphi_M  = 10$
      $28 + 6^2 \cos^2 \varphi_M  = (10 + 6 \cos \varphi_M)^2$
      $120\cos \varphi_M = -72$
      $\cos \varphi_M = -\frac{72}{120} = - \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \sin\varphi_M = ...$
                                                       $\Rightarrow \sin\varphi_N = ...$ $\Rightarrow \cos \varphi_N = ...$ $(I)$
Khi M có $W_t = W_đ$
      $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{1}{2} mv^2_{max}$
      $(\omega 6 \sin(\omega t + \varphi_M))^2 = \frac{1}{2}.(\omega 6)^2$
      $\sin(\omega t + \varphi_M) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Thay (I) vào ta có
$\Rightarrow \sin \omega t = ... $
$\Rightarrow \cos \omega t = ... $  $(II)$

Ta có tỉ số
$\frac{W_{đN}}{W_{đM}} = \frac{\frac{1}{2} mv^2_N}{\frac{1}{2} mv^2_M}$
      $ = (\frac{v_N}{v_M})^2$
      $ = (\frac{-6\omega \sin(\omega t + \varphi_M)}{-8\omega \sin(\omega t + \varphi_N)})^2$
      $ = (\frac{3 \sin(\omega t + \varphi_M)}{4 \sin(\omega t + \varphi_N)})^2$
      $ = (\frac{3 \frac{\sqrt{2}}{2}}{4 \sin(\omega t + \varphi_N)})^2$
      $ = \frac{9}{32} \frac{1}{ \sin^2(\omega t + \varphi_N)}$
      $ = \frac{9}{32} \frac{1}{(\sin \omega t . \cos \varphi_N + \cos \omega t . \sin \varphi_N)^2}$

Thay (I) và (II) vào ta sẽ tính được.

Lực căng của dây:
     $T = mg\cos.\alpha + m\frac{v^2}{l}$
$\Rightarrow$ Lực căng dây nhỏ nhất khi quả cầu ở vị trí cao nhất ($\alpha$ lớn nhất ($\cos \alpha$ nhỏ nhất), $v = 0$.
     $T_{min} = mg\cos \alpha_{max}$
$\Rightarrow$ $\cos \alpha_{max} = \frac{T}{mg} = \frac{1}{0,2.10} = 0,5$
Tại vị trí góc hợp với phương đứng tại vị trí quả cầu có động năng bằng một nửa cơ năng:
     $W_Đ  = \frac{1}{2} W = \frac{1}{2}(W_T + W_Đ)$ (1)
     ($W_T$ : thế năng, $W_Đ$ : động năng, $W$: cơ năng)
Với $W_Đ = W_T =  mgl(1-\cos \alpha)$ (2)
         $W = mgl(1-\cos \alpha_{max})$ (3)
Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \alpha =...$

Lực căng của dây:
     $T = mg\cos.\alpha + m\frac{v^2}{l}$
 Lúc đó động năng bằng thế năng
     $W_T = W_Đ$
     $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \alpha)$
$\Rightarrow$ $\frac{mv^2}{l} = \frac{2mgl(1 - \cos \alpha)}{l} = 2mg (1- \cos \alpha) = \frac{mg}{2}$
Lực căng của dây:  
      $T = mg \cos \alpha + mg$
           $= mg = 0,2 .10 = 2N$

Câu này dễ mà bạn, vật có gia tốc lớn nhất khi lực tác dụng vào nó lớn nhất (Cực đại)
     $a_{max} =\frac{F_{max}}{m}$
$\Rightarrow$ $m = \frac{F_{max}}{a_{max}}$
     $m = \frac{2}{2} = 1 kg$
$\Rightarrow$ Đáp án a)

Ở tai đoạn 1:
Ta có $v_t = v_0 + at$
Tại $t = 0, v_0 = 0$
       $t = 4s, v_1 = 4m/s$
$\Rightarrow a = \frac{v_1 - v_0}{t} = \frac{4-0}{4} = 1m/s^2$
$\Rightarrow $ Quảng đường thang máy đi được trong thời gian này: $s_1 = \frac{1}{2} at^2 = \frac{1}{2}.1.4^2 = 8m$

Ở giai đoạn 2: Thang máy chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_2 = 4m/s$ trong 5s. Gia tốc trong giai đoạn này bằng 0
$\Rightarrow $ Quảng đường thang máy đi được trong giai đoạn này: $s_2 = v_2t = 4.5 = 20m$

Ở giai đoạn 3: Thang máy chuyển động chậm dần đều
Ta có $v'_{t} = v'_0 + a't$
Với $t = 0, v'_0 = 4m/s$
       $t = 8, v'_3 = 0 m/s$
$\Rightarrow a = \frac{v_3 - v'_0}{t} = \frac{0-4}{8} = - 0,5 m/s^2$
$\Rightarrow $ Quảng đường thang máy đi được trong thời gian này: $s_3 = v'_0 t - \frac{1}{2} at^2 = 4.8 - \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.8^2 = 16m$

Vậy tổng quảng đường thang máy đã đi hay chiều cao ban đầu là 
       $s = s_1 + s_2 + s_3 = 8 + 20 +16 = 44m$
Đồ thị vot

Bài giải dựa trên năng lượng mạch dao động là được bạn nhé.

Bài giải:
Năng lượng dao động trong mạch:
         $W = \frac{1}{2}.L.I^2_0$
                  với $I_0$ là CĐDĐ cực đại trong mạch.
Tại thời điểm năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường,
Năng lượng của từ trường, điện trường là :
         $W_{T} = W_{Đ} = \frac{1}{2} . W = \frac{1}{4}.L.I^2_0$
2 tụ điện giống nhau nên năng lượng của 1 tụ điện là:
         $W_{C_1} = W_{C_2} = \frac{1}{2} W_{Đ} = \frac{1}{8}.L.I^2_0$

Khi người ta làm ngắn mạch 1 tụ, năng lượng điện trong tụ đó bị tiêu hao hoàn toàn, năng lượng trong mạch dao động chỉ còn tồn tại trên tụ còn lại và cuộn cảm.
Lúc đó tổng năng lượng trong mạch dao động chỉ còn:
         $W' = W_{T'} + W_{Đ'} = \frac{1}{4}.L.I^2_0 + \frac{1}{8}.L.I^2_0 = \frac{3}{8}.L.I^2_0$ (1)
Gọi $I'_0$ là CĐDĐ cực đại trong mạch sau khi làm ngắn mạch tụ điện, ta có:
         $W' = \frac{1}{2}.L.I'^2_0$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $ \frac{1}{2}.L.I'^2_0 = \frac{3}{8}.L.I^2_0$
$\Rightarrow$ Tỉ số CĐDĐ cực đại qua cuộn cảm lúc đầu và sau khi làm ngắn mạch tụ điện
          $\frac{I_0}{I'_0} = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{3}{8} } = \frac{4}{3}$

Bài này bạn tính dựa trên chu kỳ của dao động nhé.
Chu kỳ dao động của vật là
        $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 s$
Cứ mỗi nữa chu kì $\frac{T}{2} = 1s$  vật đi được quảng đường $2A$ (A là biên độ dao động) và trong nữa chu kì đó vật chuyển động theo một chiều không đổi.
Thời gian từ $t_1$ đến $t_2$: $t_{12} = t_2 - t_1 = \frac{13}{3} - 1,5 = 2 + \frac{5}{6} s$
        $\Rightarrow $ Trong thời gian từ 1,5s đến $\frac{13}{3}$s vật đã chuyển động được 1 chu kì ($2s = 2.\frac{T}{2}$) và $\frac{5}{6}$ s cuối vật chuyển động theo 1 chiều không đổi
        $s = 2.2.A + |x_{t = \frac{13}{3}} - x_{t = \frac{13}{3} - \frac{5}{6}}|$
        $s = 4.10 + |10 \cos(\pi .\frac{13}{3} - \frac{\pi}{2}) - 10 \cos(\pi .\frac{21}{6} - \frac{\pi}{2})|$
        $s = 4.10 + |10 \cos(\pi .\frac{1}{6}) - 10 \cos(\pi .3)|$
        $s = 40 + 10.(1 +\frac{\sqrt{3}}{2})$
        $s = 50 + 5\sqrt{3}$