a) $\frac{u}{v}         \Rightarrow         y'=\frac{u'v+uv'}{v^2} $
                          $y'(x_0)=\frac{u'(x_0)v(x_0)-u(x_0).v'(x_0)}{v^2(x_0)} $
                          $y'(x_0)=0    \Leftrightarrow    u'(x_0)v(x_0)-u(x_0).v'(x_0)=0                    (1)$
Từ (1) suy ra   $y(x_0)=\frac{u(x_0)}{v(x_0)}=\frac{u'(x_0)}{v'(x_0)}  $
b)  $y=\frac{x^2+x+1}{x-1} \Rightarrow  y'=\frac{(2x+1)(x-1)-x^2-x+1}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}  $
      $y'=0 \Rightarrow  x=0,  x=2$
  Áp dụng câu a)
* Ứng với $x=0    \Rightarrow    y(0)=\frac{2(0)+1}{1}=1 $
* Với $x=2                \Rightarrow   y(2)=\frac{2(2)+1}{1} =5$.
Vậy các điểm tại đó tiếp tuyến song song với $Ox$  là  $A(0;1)$  và  $B(2;5)$

a) Hàm số xác định khi   $\sqrt{2} \geq  \frac{1}{\cos 2x}                                    (1)  $
*  Nếu $\cos 2x >0$  thì  $(1)          \Leftrightarrow  \cos 2x  \geq  \frac{\sqrt{2} }{2} $
Suy ra $-\frac{\pi}{4}+k2\pi \leq  \frac{\pi}{4}+k2\pi \Leftrightarrow -\frac{\pi}{8}+k\pi \leq  x \leq  \frac{\pi}{4} + k\pi      $
*  Nếu $\cos 2x < 0 $ thì $(1)$ luôn luôn nghiệm đúng.
Vậy tập xác định của hàm số là   $[-\frac{\pi}{8}+k\pi; \frac{\pi}{8}+k \pi]  $

b) Hàm số xác định khi  $\sin 2x -\sin 4x > 0$
                                  $\Leftrightarrow  \sin 4x -\sin 2x <0  \Leftrightarrow   2\sin x \cos 3x <0$
Trên khoảng $(0; \pi)$ thì $\sin x>0$    nên $(1) \Leftrightarrow   \cos 3x <0$
                                  $\Leftrightarrow   \frac{\pi}{2} < 3x < \pi   \Leftrightarrow   \frac{\pi}{6}< x< \frac{\pi}{3}  $.
Vậy tập xác định của hàm số là $(\frac{\pi}{6}+k\pi; \frac{\pi}{3}+k\pi  )$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$A=\frac{M}{N} $,  ở đây  $M=\tan^2 \frac{\pi}{12}+\tan^2 \frac{5\pi}{12};  N=\cot \frac{\pi}{24}   $
* Ta tính $M$:
$M=(\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{12} }-1 )+(\frac{1}{\cos^2 \frac{5\pi}{12} }-1 )= \frac{2}{1+\cos \frac{\pi}{6} }+\frac{2}{1+\cos \frac{5\pi}{6} }-2  $
     $=\frac{2}{1+\frac{\sqrt[]{3} }{2} }+\frac{2}{1-\frac{\sqrt[]{3} }{2} }-2=\frac{4(2-\sqrt[]{3} )}{4-3}+\frac{4(2+\sqrt[]{3} )}{4-3}-2=16-2=14    $
* Ta tính $N$:   $\cot \frac{\pi}{12}=\cot \frac{\pi}{6} +\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6} }=\sqrt[]{3}+2   $
$N=\cot \frac{\pi}{24}=\cot \frac{\pi}{12}+\frac{1}{\sin \frac{\pi}{12} }=\cot \frac{\pi}{12}+\sqrt[]{1+\cot^2 \frac{\pi}{12} }     $
     $=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{1+(2+\sqrt[]{3} )^2}=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{8+4\sqrt[]{3} }=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2})^2}      $
Vậy $N=\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6} $.   Suy ra   $A=\frac{14}{\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6}    } $
b) $B=\frac{E}{F} $, ở đây   $E=\cos \frac{\pi}{7}.\cos \frac{4\pi}{7}. \cos \frac{5\pi}{7}   $,
                                 $F= \cos \frac{2\pi}{31}.\cos \frac{4\pi}{31}. \cos \frac{8\pi}{31}. \cos \frac{16\pi}{31}.\cos \frac{32\pi}{31}     $
* Tính $E$:   Vì   $\cos \frac{5\pi}{7}=\cos (\pi-\frac{2\pi}{7} )=-\cos \frac{2\pi}{7}   $
   nên   $\sin \frac{\pi}{7}E=-\sin \frac{\pi}{7}. \cos \frac{\pi}{7} . \cos \frac{2\pi}{7}. \cos \frac{4\pi}{7} = -\frac{1}{8}\sin \frac{8\pi}{7}=\frac{1}{8}\sin \frac{\pi}{7}          $
   Do đó   $E=\frac{1}{8} $.
* Tính $F$: Vì $\cos \frac{32\pi}{31}=\cos(\pi-\frac{\pi}{31} )=-\cos \frac{\pi}{31}  $  nên
                 $F=-\cos \frac{\pi}{31} .\cos \frac{2\pi}{31}.\cos \frac{4\pi}{31}. \cos \frac{8\pi}{31}. \cos \frac{16 \pi}{31}$.
Tương tự cách tính $E$, ta có :
   $\sin \frac{\pi}{31}.F=- \frac{1}{32} \sin \frac{32\pi}{31}=\frac{1}{32}\sin \frac{\pi}{31}$( vì  $\sin \frac{32\pi}{31}=\sin (\pi+\frac{\pi}{31} )=-\sin \frac{\pi}{31}  $)
 Do đó  $F=\frac{1}{32} $.  Vậy $B=\frac{E}{F} =\frac{\frac{1}{8} }{\frac{1}{32} }=4 $