giải tam giác

Question

CMR : Trong tam giác $ABC$ : $\cot A=2(\cot B+\cot C)$
Là điều kiện cần và đủ để $2$ trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ vuông góc với nhau.

Tiểu Bắc · Answer 1 · 7/13/2012 8:22:40 AM

Giả sử các trung tuyến

$BM$ và

$CN$ cắt nhau tại

$G$ . Áp dụng định lý hàm số cosin suy rộng trong tam giác ,ta có :

$tan\angle NQP = \frac{1}{2} \Rightarrow NPQ$

$\begin{array}{l} \cot A = 2(\cot B + \cot C)\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} = 2(\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}})\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}(1) \end{array}$
Mặt khác,theo định lý Pitago,ta có :

$[BM \bot CN \Leftrightarrow B{G^2} + G{C^2} = B{C^2}]$

$[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{4}{9}(m_b^2 + m_c^2) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {\frac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} + \frac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4}} \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}(2) \end{array}$
Từ

$(1)$ và

$(2)$ suy ra

$cotA=2(cotB+cotC)\Leftrightarrow BM \bot CN$
Đó là (đpcm)
Nhận xét :

$1/$ Bài toán chỉ có ý nghĩa nếu ta chỉ ra rằng lớp các tam giác thỏa mãn hệ thức trên là không trống. Thật vậy, xét tam giác cân

$ABC (AB=AC)$ và thỏa mãn hệ thức trên, ta có :

$cot A = 2(\cot B + \cot C) \Leftrightarrow \cot A = 4\cot B$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - \cot (B + C) = 4\cot B\\ \Leftrightarrow - \cot 2B = 4\cot B\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cot {^2}B}}{{2\cot B}} = 4\cot B\\ \Leftrightarrow \cot {^2}B = \frac{1}{9}\ \end{array}$
Do

$B=C$ là góc nhọn nên suy ra :

$\cot B = \frac{1}{3}$ Vậy nói riêng các lớp tam giác cân

$(AB=AC)$ có chiều cao

$AH =\frac{3}{2}$ sẽ thỏa mãn hệ thức