bài này khó quá, có anh nào giúp em dc k?

Question

xét hàm số có

$f''(x)< 0$ , chứng minh rằng

$\frac{f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n)}{n}\leq f(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} )$

score 0 · Answer 1

Đây gọi là tính chất của hàm lồi.Đề bài thiếu điều kiện là hàm

$f(x)$ phải liên tục và khả vi nữa.

score 4 · Answer 2

Ta chứng minh:

$f(x)\le f'(c)(x-c)+f(c)$ , với mọi

$x,c\in\mathbb{R}$ (1)
Thật vậy:
*) Với

$x=c$ , hiển nhiên đúng.
*) Với

$x<c$ , áp dụng định lý Lagrange ta có:

$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(d), d\in(x;c)$
Mà:

$f'$ giảm trên

$\mathbb{R}$ nên:

$f'(d)>f'(c)$ , suy ra:

$f(x)-f(c)<(x-c)f'(c)$ do

$x<c$ .
*) Với

$x>c$ , tương tự.
Vậy (1) được chứng minh.

Đặt

$c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$ . Ta có:

$f(x)\le f'(c)(x-c)+f(c)$ , với mọi

$x,c\in\mathbb{R}$
Chọn

$x=a_i$ ta có:

$f(a_i)\le f'(c)(a_i-c)+f(c)\Rightarrow \frac{1}{n} f(a_i)\le \frac{1}{n} f'(c)(a_i-c)+ \frac{1}{n} f(c)$
Lấy tổng ta được:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_i)\le \frac{1}{n}f'(c)\sum_{i=1}^{n}a_i-cf'(c)+f(c)=cf'(c)-cf'(c)+f(c)=f(c)$
Hay:

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a_i)\le f( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i)$ , đpcm.

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks

2 Đáp án