Ta sẽ chứng minh T≤9⇔∑4a+b≤9+∑1a
⇔4[(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)](a+b)(b+c)(c+a)≤9+ab+bc+caabc
⇔4[a2+b2+c2+3(ab+bc+ca)](a+b+c)(ab+bc+ca)−abc≤9abc+ab+bc+caabc
⇔1+ab+bc+caab+bc+ca−abc≤14[9abc+ab+bc+caabc]
⇔4abc(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)2≥4abc+9a2b2c2
∙Ta có abc(ab+bc+ca)=abc(ab+bc+ca)(a+b+c)≥abc.3√(abc)2.3√abc=9(abc)2
Nên chỉ cần cm
3abc(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)2≥4abc
⇔(ab+bc+ca)2−3abc(a+b+c)≥abc[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]
⇔c(a−b)2+a(b−c)2+b(c−a)2≥12abc[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]
⇔∑[c(a−b)2(1−ab2)]≥0
Dễ thấy bdt cuối luôn đúng
⇒maxT=9⇔a=b=c=13