Khó mà hay !

Question

Trong mặt phẳng đường tròn $(C) : (x-2)^2+(y-3)^2=16$. Tìm $m$ sao cho từ đường thẳng $y=4x+m$ có duy nhất 1 điểm $M$ mà từ đó kẻ được $2$ tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với nhau.

score 14 · Answer 1

Bình chọn tăng 14 Bình chọn giảm

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(2,3)$, bán kính $R=4$.
Giả sử từ $M(x,4x+m)$ kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với $(C)$ là $MA,MB$.
Suy ra: $MAIB$ là hình vuông
Từ đó: $MI=R\sqrt2=4\sqrt2$
$\Leftrightarrow (x-2)^2+(4x+m-3)^2=32$
$\Leftrightarrow 17x^2+4(2m-7)x+m^2-6m-19=0 (*)$
Để có duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn thì $(*)$ có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow \Delta'=0$
$\Leftrightarrow (4m-14)^2-17(m^2-6m-19)=0$
$\Leftrightarrow m^2+10m-519 \Leftrightarrow m=-5\pm4\sqrt{34}$