[X3] ANH TÂN giải LUÔN cho e mai e nộp bài r nhé

Question

Cho hàm số

$y=\frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} -2x -2m - \frac{1}{3} (1)$ (m là tham số)
Tìm

$m$ thuộc khoảng

$(0;\frac{5}{6})$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng

$x=0 , x=2, y=0$ có diện tích bằng

$4$ .

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 10/31/2012 8:13:34 AM

Đặt

$h(x,m):=\frac{1}{3}x^3+mx^2-2x-2m-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(x^3-6x-1)+ m(x^2-2)$
Thứ nhất
với

$m\in\left(0, \frac{5}{6} \right)$ ta thấy rằng

$h\left(0,m\right) =-\frac{1}{3}-2m<0$

$h\left(2,m\right) = -\frac{5}{3}+2m<0$
Ta có

$h'( x, m) = x^2+2mx-2 = (x+m)^2-(m^2+2)$

$h' =0 \Rightarrow x=-m\pm \sqrt{m^2+2}$
Ta chọn

$x=-m + \sqrt{m^2+2}$ vì

$x \in(0,2)$
Lập bảng biến thiên cho

$h(x)$ ta suy ra

$h(x) \le \max( h(0), h(2) ) = \max \left( -\frac{1}{3}-2m, -\frac{5}{3}+2m \right) <0$
Thứ hai:
Ta cần tìm

$m$ từ

$I(m)=\int_0^2 \left| h(x,m) \right| dx=4$

$I(m)=\int_0^2 \left| h(x,m) \right| dx = \int_0^2 -h(x,m)dx$

$= \left[-\frac{1}{12}x^4 - \frac{m}{3} x^3 + x^2 + 2xm + \frac{x}{3} \right]_0^2$

$= \frac{10+4m}{3}$

$I(m)=4 \Rightarrow \frac{10+4m}{3}=4 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi manutd.vn1234@gmail.com, đã hết hạn vào lúc 10-10-12 11:45 PM